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Equação de Condução de Calor

Este capítulo resume, no nível contínuo, a equação governante da condução de calor tratada pelo FrontISTR e suas condições de contorno. A discretização no tempo e a discretização por FEM são deixadas para a seção de discretização (L3d) e para a seção de algoritmos de solução (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Equação Governante

A equação de condução de calor em um meio contínuo é dada a seguir.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Aqui, \(\rho=\rho(x)\) representa a densidade de massa, \(c=c(x,T)\) o calor específico, \(T=T(x,t)\) a temperatura, \(k=k(x,T)\) a condutividade térmica, \(Q=Q(x,T,t)\) a geração de calor, \(x\) a posição e \(t\) o tempo. \(k_x, k_y, k_z\) são as condutividades térmicas nas respectivas direções para condução de calor anisotrópica.

Para propriedades térmicas específicas, incluindo dependência da temperatura e anisotropia, consulte Propriedades Térmicas.

Condições de Contorno

Seja o domínio considerado \(S\), com seu contorno denotado por \(\Gamma\). Supondo que uma condição de contorno do tipo Dirichlet ou do tipo Neumann seja prescrita em todo ponto de \(\Gamma\), as condições de contorno são dadas a seguir.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Aqui, assume-se que as formas funcionais de \(T_1\) e \(q\) sejam conhecidas. \(q\) é o fluxo de calor que sai pelo contorno. O fluxo de calor no contorno \(q\) é composto pelos três componentes a seguir.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Aqui, \(q_s\) é o fluxo de calor distribuído, \(q_c\) é o fluxo de calor devido à transferência de calor por convecção e \(q_r\) é o fluxo de calor devido à transferência de calor por radiação.

Aqui, \(Tc=Tc(x,t)\) é a temperatura ambiente para transferência de calor por convecção, \(hc=hc(x,t)\) é o coeficiente de transferência de calor por convecção, \(Tr=Tr(x,t)\) é a temperatura ambiente para transferência de calor por radiação, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) é o coeficiente de transferência de calor por radiação, \(\varepsilon\) é a emissividade, \(\sigma\) é a constante de Stefan-Boltzmann e \(F\) é o fator de forma.

Para saber como especificar essas condições em um arquivo de entrada, consulte Condições de Contorno e Cargas na referência de funções.

Forma Fraca

Acoplamento com a Análise Estrutural

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