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Funções de forma para elementos sólidos 3D

Este capítulo resume os sistemas de coordenadas naturais e as formas explícitas das funções de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introduzidas em Funções de forma e aproximação por elementos finitos para os elementos sólidos tridimensionais usados pelo FrontISTR em análise de contínuo. Os seis tipos de elemento são tetraedros de primeira/segunda ordem (341/342), prismas triangulares de primeira/segunda ordem (351/352) e hexaedros de primeira/segunda ordem (361/362). Consulte a Biblioteca de elementos na referência de funções para a ordenação dos nós e os números das faces no formato de malha HEC-MW.

O procedimento para construir a integração do elemento a partir dessas funções de forma e do determinante da Jacobiana segue Integração numérica. As formulações B-bar, F-bar e incompatível para 361, bem como as funções de forma para elementos de viga e casca, são tratadas em Formulações avançadas de elementos.

Sistemas de coordenadas naturais e ordenação interna dos nós

As funções de forma são definidas nas coordenadas naturais \(\boldsymbol{r}\) de cada elemento. Os elementos sólidos tridimensionais usam os três sistemas de coordenadas naturais a seguir, conforme a forma do elemento.

  • Hexaedros (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedros (341/342): coordenadas volumétricas \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), com \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) e \(L_i \ge 0\). Tomando \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) como variáveis independentes, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prismas triangulares (351/352): combinam as coordenadas volumétricas \((\xi, \eta)\) do triângulo da base (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) com a coordenada axial \(\zeta \in [-1, 1]\) para formar \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). A grandeza auxiliar \(a = 1 - \xi - \eta\) é usada como a terceira coordenada volumétrica da base.

Para elementos de primeira ordem, a numeração dos nós do elemento é a mesma no formato de entrada HEC-MW e no formato interno. Para elementos de segunda ordem, as convenções de ordenação dos nós intermediários diferem. O FrontISTR aceita como entrada o formato HEC-MW (os nós de vértice são listados ao redor do elemento, seguidos pelos nós intermediários na ordem das arestas 1-2, 2-3, …), enquanto as funções de forma da biblioteca de elementos são implementadas supondo outra ordenação de nós.

A diferença entre os dois formatos é resolvida por hecmw2fstr_mesh_conv, chamado imediatamente após a leitura da malha, que reordena os nós de cada elemento. Entre os elementos sólidos tridimensionais, os dois tipos a seguir são convertidos.

Tipo de elemento Tabela de conversão Descrição
342 (tetraedro de segunda ordem) Table342 Reordena os 10 nós para \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prisma triangular de segunda ordem) Table352 Reordena os 15 nós para \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Como a reordenação é realizada diretamente no vetor que armazena a conectividade dos elementos, todas as chamadas subsequentes à biblioteca de elementos usam a ordenação interna de nós do FrontISTR. Para o elemento hexaédrico de segunda ordem 362, não existe tabela de conversão porque a ordem dos nós intermediários na entrada HEC-MW e no formato interno do FrontISTR é a mesma. Na saída dos resultados, a conversão inversa fstr2hecmw_mesh_conv restaura a ordenação de nós HEC-MW antes da gravação, de modo que o usuário precisa considerar apenas o formato HEC-MW tanto na entrada quanto na saída. Os números de nós nas funções de forma abaixo usam o formato interno convertido do FrontISTR.

Funções de forma para elementos de primeira ordem

Para o elemento tetraédrico de primeira ordem (341), as funções de forma são as próprias coordenadas volumétricas:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Para o elemento de prisma triangular de primeira ordem (351), as funções de forma são produtos das funções de forma lineares do triângulo da base (\(a, \xi, \eta\)) pelas funções de forma axiais lineares (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Para o elemento hexaédrico de primeira ordem (361), as funções de forma são produtos tensoriais de funções de forma lineares nas três direções coordenadas:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Aqui, \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) são os valores das coordenadas naturais do nó \(\alpha\) (cada componente é \(\pm 1\)).

Funções de forma para elementos de segunda ordem

Para o elemento tetraédrico de segunda ordem (342), as funções de forma são divididas entre quatro nós de vértice e seis nós intermediários:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Os nós intermediários 5–10 correspondem, respectivamente, aos pontos médios das arestas 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 e 3-4.

O elemento de prisma triangular de segunda ordem (352) consiste em seis nós de vértice, seis nós intermediários nas faces triangulares e três nós intermediários nas arestas axiais:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Os nós intermediários 7–9 correspondem aos pontos médios das arestas do triângulo inferior (\(\zeta = -1\)), os nós 10–12 aos pontos médios das arestas do triângulo superior (\(\zeta = +1\)), e os nós 13–15 aos pontos médios das arestas axiais.

O elemento hexaédrico de segunda ordem (362) é um elemento de 20 nós da família Serendipity. Sejam \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) os valores das coordenadas naturais do nó \(\alpha\). Para os nós de vértice (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), com cada componente igual a \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Para os nós intermediários (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), com uma das três coordenadas naturais igual a \(0\) e as outras duas iguais a \(\pm 1\)), os nós com \(\xi_\alpha = 0\) (arestas orientadas na direção \(\xi\)) têm

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Os nós intermediários cuja direção da aresta é o eixo \(\eta\) ou \(\zeta\) são dados de modo análogo, eliminando-se a coordenada natural correspondente pelo termo ao quadrado.

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