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Formulações avançadas de elementos

A formulação padrão baseada em deslocamentos apresentada em Formulação de elementos sólidos 3D apresenta rigidez artificial excessiva, conhecida como locking (locking volumétrico ou locking por cisalhamento), quando aplicada a materiais quase incompressíveis ou a estruturas de paredes finas dominadas por flexão. Para evitar isso, o FrontISTR fornece os métodos B-bar e F-bar, que substituem apenas a parte volumétrica da matriz B ou do gradiente de deformação; elementos incompatíveis com graus de liberdade internos; elementos mistos u-p, que tratam a pressão como um campo desconhecido independente; e elementos de casca MITC e elementos de viga especializados em estruturas de placas e vigas.

Este capítulo resume, elemento por elemento, as formulações desses elementos avançados e elementos estruturais.

Método B-bar

Quando um elemento hexaédrico linear de 8 nós é usado para um material quase incompressível, o campo de deformações dentro de um elemento pode entrar em conflito com a restrição de volume constante, produzindo rigidez excessiva conhecida como locking volumétrico. O método B-bar reduz essa sobrerrestrição substituindo os componentes da matriz B que contribuem para a expansão volumétrica por valores avaliados no centro do elemento [Hughes1980].

No centro do elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), seja \(\bar{\boldsymbol{B}}\) a matriz B calculada a partir das derivadas espaciais das funções de forma; no ponto de integração \(\boldsymbol{r}\), seja \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) a matriz B usual. Na relação deslocamento-deformação para o nó \(\alpha\) e o grau de liberdade \(i\), os componentes de deformação volumétrica \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) são modificados adicionando-se

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Para os componentes de cisalhamento \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), utiliza-se a \(\boldsymbol{B}\) usual. A rigidez do elemento e o vetor de forças internas são montados usando a matriz B-bar resultante.

O FrontISTR fornece essa formulação especificamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós (ID de elemento 361; consulte Sistema de numeração dos elementos), e ela pode ser aplicada às formulações de pequenas deformações, Total Lagrange e Updated Lagrange.

Método F-bar

Em deformações finitas, a variação volumétrica entra de forma não linear por meio do gradiente de deformação \(\boldsymbol{F}\). O método F-bar [deSouzaNeto1996] aplica, no nível do gradiente de deformação, um tratamento do locking volumétrico análogo ao método B-bar.

No centro do elemento \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), seja \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) a razão de volume do gradiente de deformação avaliado nesse ponto, e seja \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) a razão de volume em um ponto de integração. O gradiente de deformação no ponto de integração é substituído por

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Isso fornece \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), de modo que a razão de volume em todo o elemento é igualada ao valor no centro do elemento. O \(\bar{\boldsymbol{F}}\) substituído é usado para a avaliação das tensões e a construção da matriz deformação-deslocamento, e a rigidez tangente do elemento inclui os termos adicionais associados a essa substituição.

O FrontISTR implementa o método F-bar especificamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós, e ele pode ser aplicado tanto a pequenas deformações quanto às formulações geométricas não lineares Total Lagrange / Updated Lagrange.

Elementos incompatíveis

O elemento hexaédrico linear de 8 nós não possui os modos de deformação necessários à flexão e apresenta locking de flexão em problemas dominados por flexão. Elementos incompatíveis [Taylor1976] introduzem modos adicionais de deslocamento dentro do elemento para compensar essa deficiência.

Além dos deslocamentos nodais do elemento \(\boldsymbol{u}^e\), são introduzidos graus de liberdade de modo incompatível \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), existentes apenas dentro do elemento, como 3 direções × 3 modos por elemento, e o campo de deslocamentos é aproximado como

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Para as coordenadas naturais \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), as funções de forma incompatíveis são tomadas como \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) e \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Elas não garantem continuidade entre os contornos dos elementos, mas acrescentam um espaço interno capaz de reproduzir as deformações associadas aos modos de flexão.

A rigidez do elemento é inicialmente montada em forma de blocos de graus de liberdade externos/internos

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Após a montagem nessa forma, a condensação estática elimina os graus de liberdade internos usando \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), produzindo a rigidez do elemento envolvendo apenas os graus de liberdade externos

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

que é passada para a montagem global.

O FrontISTR implementa o elemento incompatível especificamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós (C3D8IC), e ele pode ser aplicado às formulações de pequenas deformações, Total Lagrange e Updated Lagrange.

Elementos mistos U-P

Enquanto os métodos B-bar e F-bar corrigem o componente volumétrico dentro de uma formulação baseada em deslocamentos, o elemento misto u-p (U-P) usa uma formulação mista [Bathe1996] que introduz a pressão \(\lambda\) como um campo desconhecido independente do deslocamento. Para materiais quase incompressíveis, como materiais do tipo borracha com coeficiente de Poisson extremamente próximo de 0,5 ou metais após deformação plástica, impor a restrição de volume constante usando apenas o campo de deslocamentos causa locking volumétrico; tratar a pressão como variável independente relaxa essa restrição.

A tensão é separada em componentes desviador e de pressão como

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Aqui, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) é a matriz elástica desviadora obtida removendo da matriz elástica a parte volumétrica proporcional ao módulo volumétrico \(K\). A pressão \(\lambda\) e a deformação volumétrica \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) são relacionadas pela restrição por meio da compressibilidade \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

A discretização com o deslocamento \(\boldsymbol{u}\) e a pressão \(\lambda\) como incógnitas produz o sistema acoplado do elemento

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

onde \(\mathbf{K}_{uu}\) contém a contribuição elástica desviadora e, para deformações finitas, a rigidez geométrica; \(\mathbf{K}_{up}\) acopla deformação volumétrica e pressão; e \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) é o termo de estabilização da pressão (\(\boldsymbol{N}_p\) é a função de forma da pressão). Como os graus de liberdade de pressão são internos ao elemento,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

a condensação estática é realizada nessa forma, e a rigidez efetiva envolvendo apenas os graus de liberdade externos (deslocamentos) é passada para a montagem global.

O FrontISTR implementa o elemento U-P especificamente para o elemento hexaédrico linear de 8 nós, com um grau de liberdade de pressão por elemento (constante dentro do elemento). Ele pode ser aplicado às formulações de pequenas deformações, Total Lagrange e Updated Lagrange. Em Updated Lagrange, a tensão desviadora é atualizada usando uma taxa objetiva de tensão (tipo Jaumann/Hughes-Winget), e então a pressão \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) é imposta usando o valor obtido pela condensação estática.

Elementos de casca

Elementos de casca baseados na teoria de placas/cascas de Reissner-Mindlin são usados para estruturas de placas e cascas de paredes finas. À medida que a espessura diminui, elementos de placa/casca de baixa ordem baseados em deslocamentos superestimam a deformação de cisalhamento transversal por um mecanismo análogo ao locking volumétrico (locking por cisalhamento), fazendo a rigidez dos modos de flexão aumentar excessivamente. O método MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] evita esse problema reamostrando apenas os componentes de deformação por cisalhamento em pontos de ligação predefinidos no elemento e interpolando esses valores amostrados novamente sobre o elemento.

Os nós de um elemento de casca MITC ficam na superfície média, e cada nó possui seis graus de liberdade: três componentes translacionais e três componentes rotacionais em torno do sistema de coordenadas normal à superfície média. A rigidez do elemento é avaliada por integração gaussiana tridimensional nas coordenadas naturais da superfície média e na direção da espessura, e a espessura \(h\) é fornecida como propriedade do elemento durante a avaliação constitutiva.

O FrontISTR fornece MITC3 (ID de elemento 731), MITC4 (741) e MITC9 (743), representados por uma única camada na superfície média, bem como os elementos de casca em camadas MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nós, 3 graus de liberdade por nó) e MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nós, 3 graus de liberdade por nó), cujos nós são dispostos em duas camadas ao longo da espessura. Nos elementos de casca em camadas, os graus de liberdade nodais consistem apenas em três componentes translacionais, enquanto os modos de flexão correspondentes aos graus de liberdade rotacionais são representados pela disposição em duas camadas.

Elementos de viga

Membros lineares, como vigas e estruturas de pórticos, são discretizados com elementos de viga. O FrontISTR usa uma formulação de viga de Timoshenko que considera a deformação por cisalhamento e expressa tanto a flexão quanto o cisalhamento como funções dos graus de liberdade translacionais e rotacionais.

Cada nó de viga possui seis graus de liberdade: três componentes translacionais e três componentes rotacionais em torno do eixo da viga e dos eixos transversais. A rigidez do elemento é avaliada por integração numérica unidimensional ao longo do eixo da viga. A área da seção transversal \(A\) e os segundos momentos de área \(I\) nas direções de flexão e torção são fornecidos como propriedades da seção da viga e, juntamente com o módulo de Young \(E\) e o módulo de cisalhamento \(G\) do material, definem as rigidezes axial, de flexão, de torção e de cisalhamento.

O FrontISTR fornece um elemento de viga reta de 2 nós (ID de elemento 611) e um elemento híbrido viga-sólido tetraédrico de 4 nós representado com 3 nós (641, para graus de liberdade mistos).

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