Erweiterte Elementformulierungen¶

Die in Formulierung dreidimensionaler Volumenelemente vorgestellte Standardformulierung auf Verschiebungsbasis weist bei nahezu inkompressiblen Materialien oder biegedominierten dünnwandigen Strukturen eine übermäßige künstliche Steifigkeit auf, die als Locking (Volumen-Locking bzw. Schub-Locking) bezeichnet wird. Um dies zu vermeiden, stellt FrontISTR die B-bar- und F-bar-Methoden bereit, bei denen nur der volumetrische Anteil der B-Matrix beziehungsweise des Deformationsgradienten ersetzt wird; inkompatible Elemente mit inneren Freiheitsgraden; gemischte u-p-Elemente, die den Druck als unabhängiges unbekanntes Feld behandeln; sowie MITC-Schalen- und Balkenelemente, die für Platten- und Balkenstrukturen spezialisiert sind.

Dieses Kapitel fasst die Formulierungen dieser erweiterten und strukturellen Elemente elementweise zusammen.

B-bar-Methode¶

Wird ein lineares 8-Knoten-Hexaederelement für ein nahezu inkompressibles Material verwendet, kann das Dehnungsfeld innerhalb eines Elements mit der Bedingung konstanten Volumens in Konflikt geraten und eine übermäßige Steifigkeit, das sogenannte Volumen-Locking, verursachen. Die B-bar-Methode vermindert diese Überbestimmung, indem sie die Komponenten der B-Matrix, die zur Volumenausdehnung beitragen, durch am Elementzentrum ausgewertete Werte ersetzt [Hughes1980].

Sei am Elementzentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) die aus den räumlichen Ableitungen der Formfunktionen berechnete B-Matrix \(\bar{\boldsymbol{B}}\) und an einem Integrationspunkt \(\boldsymbol{r}\) die gewöhnliche B-Matrix \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). In der Verschiebungs-Dehnungs-Beziehung für Knoten \(\alpha\) und Freiheitsgrad \(i\) werden die volumetrischen Dehnungskomponenten \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) durch Hinzufügen von

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

modifiziert. Für die Schubkomponenten \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) wird die gewöhnliche \(\boldsymbol{B}\) verwendet. Elementsteifigkeit und innerer Kraftvektor werden mit der daraus resultierenden B-bar-Matrix assembliert.

FrontISTR stellt diese Formulierung speziell für das lineare 8-Knoten-Hexaederelement bereit (Element-ID 361; siehe Elementnummerierungssystem); sie kann auf Formulierungen für kleine Verformungen, Total Lagrange und Updated Lagrange angewendet werden.

F-bar-Methode¶

Bei endlichen Verformungen geht die Volumenänderung nichtlinear über den Deformationsgradienten \(\boldsymbol{F}\) ein. Die F-bar-Methode [deSouzaNeto1996] wendet auf Ebene des Deformationsgradienten eine Behandlung des Volumen-Lockings analog zur B-bar-Methode an.

Sei das Volumenverhältnis des am Elementzentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) ausgewerteten Deformationsgradienten \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) und das Volumenverhältnis an einem Integrationspunkt \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Der Deformationsgradient am Integrationspunkt wird ersetzt durch

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Damit gilt \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), sodass das Volumenverhältnis im gesamten Element an den Wert im Elementzentrum angepasst wird. Das ersetzte \(\bar{\boldsymbol{F}}\) wird zur Spannungsauswertung und zum Aufbau der Dehnungs-Verschiebungs-Matrix verwendet; die Element-Tangentensteifigkeit enthält die mit dieser Ersetzung verbundenen zusätzlichen Terme.

FrontISTR implementiert die F-bar-Methode speziell für das lineare 8-Knoten-Hexaederelement; sie kann sowohl für kleine Verformungen als auch für nichtlineare Geometrie nach Total Lagrange / Updated Lagrange angewendet werden.

Inkompatible Elemente¶

Dem linearen 8-Knoten-Hexaederelement fehlen die für Biegung erforderlichen Dehnungsmoden; bei biegedominierten Problemen tritt daher Biege-Locking auf. Inkompatible Elemente [Taylor1976] führen zusätzliche Verschiebungsmoden im Elementinneren ein, um dieses Defizit auszugleichen.

Zusätzlich zu den Elementknotenverschiebungen \(\boldsymbol{u}^e\) werden als 3 Richtungen × 3 Moden pro Element inkompatible Modenfreiheitsgrade \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) eingeführt, die nur innerhalb des Elements existieren; das Verschiebungsfeld wird angenähert durch

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Für die natürlichen Koordinaten \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) werden die inkompatiblen Formfunktionen als \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) und \(M_3 = 1 - \zeta^2\) gewählt. Sie gewährleisten keine Stetigkeit über Elementgrenzen hinweg, fügen jedoch einen inneren Raum hinzu, der die mit Biegemoden verbundenen Dehnungen wiedergeben kann.

Die Elementsteifigkeit wird zunächst in Blockform für äußere und innere Freiheitsgrade assembliert:

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Nach der Assemblierung in dieser Form eliminiert die statische Kondensation die inneren Freiheitsgrade mit \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\). Daraus ergibt sich die Elementsteifigkeit, die nur die äußeren Freiheitsgrade enthält,

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

und an die globale Assemblierung übergeben wird.

FrontISTR implementiert das inkompatible Element speziell für das lineare 8-Knoten-Hexaederelement (C3D8IC); es kann auf Formulierungen für kleine Verformungen, Total Lagrange und Updated Lagrange angewendet werden.

Gemischte U-P-Elemente¶

Während die B-bar- und F-bar-Methoden den volumetrischen Anteil innerhalb einer verschiebungsbasierten Formulierung korrigieren, verwendet das gemischte u-p-Element (U-P) eine gemischte Formulierung [Bathe1996], die den Druck \(\lambda\) als von der Verschiebung unabhängiges unbekanntes Feld einführt. Bei nahezu inkompressiblen Materialien, beispielsweise gummiartigen Materialien mit einer Querkontraktionszahl sehr nahe 0,5 oder Metallen nach plastischer Verformung, führt die Durchsetzung der Bedingung konstanten Volumens allein über das Verschiebungsfeld zu Volumen-Locking; die Behandlung des Drucks als unabhängige Variable lockert diese Bedingung.

Die Spannung wird in deviatorischen und Druckanteil zerlegt:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Hier ist \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) die deviatorische Elastizitätsmatrix, die durch Entfernen des zum Kompressionsmodul \(K\) proportionalen volumetrischen Anteils aus der Elastizitätsmatrix erhalten wird. Der Druck \(\lambda\) und die volumetrische Dehnung \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) sind über die Kompressibilität \(\alpha^{-1} = 1/K\) durch die Zwangsbedingung verknüpft:

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Die Diskretisierung mit Verschiebung \(\boldsymbol{u}\) und Druck \(\lambda\) als Unbekannten führt auf das gekoppelte Elementsystem

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

wobei \(\mathbf{K}_{uu}\) den deviatorischen elastischen Beitrag und bei endlichen Verformungen die geometrische Steifigkeit enthält, \(\mathbf{K}_{up}\) volumetrische Dehnung und Druck koppelt und \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) der Druckstabilisierungsterm ist (\(\boldsymbol{N}_p\) ist die Druckformfunktion). Da die Druckfreiheitsgrade elementintern sind,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

wird in dieser Form eine statische Kondensation durchgeführt; die effektive Steifigkeit, die nur die äußeren Verschiebungsfreiheitsgrade enthält, wird an die globale Assemblierung übergeben.

FrontISTR implementiert das U-P-Element speziell für das lineare 8-Knoten-Hexaederelement mit einem Druckfreiheitsgrad pro Element (innerhalb des Elements konstant). Es kann auf Formulierungen für kleine Verformungen, Total Lagrange und Updated Lagrange angewendet werden. Bei Updated Lagrange wird die deviatorische Spannung mit einer objektiven Spannungsrate (Jaumann-/Hughes-Winget-Typ) aktualisiert; anschließend wird der Druck \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) mit dem durch statische Kondensation erhaltenen Wert aufgebracht.

Schalenelemente¶

Für dünnwandige Platten- und Schalenstrukturen werden Schalenelemente auf Grundlage der Reissner-Mindlin-Platten-/Schalentheorie verwendet. Mit abnehmender Dicke überschätzen niedriggradige verschiebungsbasierte Platten-/Schalenelemente die Querschubdehnung durch einen dem Volumen-Locking analogen Mechanismus (Schub-Locking), wodurch die Steifigkeit für Biegemoden übermäßig zunimmt. Die MITC-Methode (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] vermeidet dieses Problem, indem nur die Schubdehnungskomponenten an vorgegebenen Tying-Punkten im Element neu abgetastet und die abgetasteten Werte anschließend über das Element interpoliert werden.

Die Knoten eines MITC-Schalenelements liegen auf der Mittelfläche; jeder Knoten besitzt sechs Freiheitsgrade: drei translatorische Komponenten und drei Rotationskomponenten um das Koordinatensystem der Mittelflächennormale. Die Elementsteifigkeit wird durch dreidimensionale Gauß-Integration über die natürlichen Koordinaten der Mittelfläche und die Dickenrichtung ausgewertet; die Dicke \(h\) wird bei der Auswertung des Stoffgesetzes als Elementeigenschaft bereitgestellt.

FrontISTR stellt MITC3 (Element-ID 731), MITC4 (741) und MITC9 (743) bereit, die durch eine einzige Mittelflächenschicht repräsentiert werden, sowie geschichtete Schalenelemente MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 Knoten, 3 Freiheitsgrade pro Knoten) und MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 Knoten, 3 Freiheitsgrade pro Knoten), deren Knoten über die Dicke in zwei Schichten angeordnet sind. Bei den geschichteten Schalenelementen bestehen die Knotenfreiheitsgrade nur aus drei translatorischen Komponenten; den Rotationsfreiheitsgraden entsprechende Biegemoden werden durch die zweischichtige Anordnung dargestellt.

Balkenelemente¶

Linienförmige Bauteile wie Träger und Rahmenstrukturen werden mit Balkenelementen diskretisiert. FrontISTR verwendet eine Timoshenko-Balkenformulierung, die Schubverformung berücksichtigt und sowohl Biegung als auch Schub als Funktionen translatorischer und rotatorischer Freiheitsgrade ausdrückt.

Jeder Balkenknoten besitzt sechs Freiheitsgrade: drei translatorische Komponenten und drei Rotationskomponenten um die Balkenachse und die Querachsen. Die Elementsteifigkeit wird durch eindimensionale numerische Integration entlang der Balkenachse ausgewertet. Die Querschnittsfläche \(A\) und die Flächenträgheitsmomente \(I\) in Biege- und Torsionsrichtung werden als Balkenquerschnittseigenschaften angegeben; zusammen mit dem Elastizitätsmodul \(E\) und dem Schubmodul \(G\) des Materials bestimmen sie die Axial-, Biege-, Torsions- und Schubsteifigkeiten.

FrontISTR stellt ein gerades 2-Knoten-Balkenelement (Element-ID 611) und ein tetraedrisches 4-Knoten-Volumen-Balken-Hybridelement bereit, das mit 3 Knoten dargestellt wird (641, für gemischte Freiheitsgrade).