Zum Inhalt

Rahmen der inkrementellen Analyse

Notwendigkeit der inkrementellen Analyse

Wie oben beschrieben, kann bei der Analyse von Problemen mit kleinen Verformungen eine Finite-Elemente-Analyse durchgeführt werden, indem das Prinzip der virtuellen Arbeit, das den Grundgleichungen wie den Gleichgewichtsbedingungen äquivalent ist, verwendet und diese Gleichung mit finiten Elementen diskretisiert wird. Auch bei der Analyse von Problemen mit endlichen Verformungen, bei denen große Verformungen von Strukturen behandelt werden, wird grundsätzlich dasselbe Prinzip der virtuellen Arbeit verwendet.

Bei Problemen mit endlichen Verformungen wird die Gleichung des Prinzips der virtuellen Arbeit jedoch selbst unter der Annahme eines linearen Materialverhaltens bezüglich der Verschiebung nichtlinear. Zum Lösen nichtlinearer Gleichungen werden üblicherweise iterative Berechnungen mit einem Iterationsverfahren durchgeführt.

Bei diesen Iterationen wird eine inkrementelle Analysemethode verwendet, bei der die Berechnung abschnittsweise für kleine Lastinkremente durchgeführt und die Inkremente bis zum endgültigen Verformungszustand aufsummiert werden. Unter der Annahme kleiner Verformungen wird bei der Definition von Dehnung und Spannung keine besondere Unterscheidung zwischen der Konfiguration vor und nach der Verformung vorgenommen. Das heißt, unter der Annahme kleiner Verformungen spielt es keine Rolle, ob die zur Beschreibung der Grundgleichungen verwendete Konfiguration diejenige vor oder nach der Verformung ist.

Wird für ein Problem mit endlichen Verformungen eine inkrementelle Analyse durchgeführt, unterscheidet sich die Formulierung danach, ob die Anfangskonfiguration oder die Konfiguration zu Beginn des Inkrements als Referenzkonfiguration gewählt wird. Ersteres wird als Total-Lagrange-Methode, letzteres als Updated-Lagrange-Methode bezeichnet. Einzelheiten finden Sie in den Literaturangaben am Ende des Kapitels und in der zugehörigen Literatur.

Ausgangsgleichung: Prinzip der virtuellen Arbeit zum Zeitpunkt \(t'\)

Betrachten wir eine inkrementelle Analyse, bei der der Zustand bis zum Zeitpunkt \(t\) bekannt und der Zustand zum Zeitpunkt \(t' = t + \Delta t\) unbekannt ist (siehe Abbildung 2.2.1). Die Gleichgewichtsbedingungen, Randbedingungen und das Prinzip der virtuellen Arbeit zum Zeitpunkt \(t'\) (Darstellung in der aktuellen Konfiguration mit der Cauchy-Spannung \(^{t'}\sigma\) und dem linearen Anteil der Almansi-Dehnung \(^{t'} A_{(L)}\)) sind in Prinzip der virtuellen Arbeit angegeben.

Konzept der inkrementellen Analyse

Abbildung 2.2.1 Konzept der inkrementellen Analyse

Da diese Ausgangsgleichung jedoch in der (unbekannten) Konfiguration zum Zeitpunkt \(t'\) formuliert ist, wird beim tatsächlichen Lösungsverfahren entweder die Anfangskonfiguration \(V\) zum Zeitpunkt \(0\) oder die aktuelle Konfiguration \(^{t'} v\) zum Zeitpunkt \(t\) als Referenzkonfiguration gewählt, die Gleichung in inkrementelle Form umgeschrieben und anschließend gelöst:

  • Total-Lagrange-Methode — Verwendet die Anfangskonfiguration \(V\) als Referenz. Es werden die zweite PK-Spannung \(\boldsymbol{S}\) und die Green-Lagrange-Dehnung \(\boldsymbol{E}\) verwendet.
  • Updated-Lagrange-Methode — Verwendet die aktuelle Konfiguration \(^{t}v\) zu Beginn des Inkrements als Referenz. Es werden die Cauchy-Spannung \(\boldsymbol{\sigma}\) und der lineare Anteil der Almansi-Dehnung \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) verwendet.

Für die räumliche Diskretisierung beider Formulierungen (B-Matrix und innerer Kraftvektor) siehe Diskretisierung der virtuellen inneren Arbeit; für die Linearisierung und den Aufbau der Tangentensteifigkeit siehe Tangentensteifigkeitsmatrix.

Verwandte Themen