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Diskretisierung der virtuellen Arbeit der inneren Kräfte

Die in Rahmen der inkrementellen Analyse dargestellte Gleichung der virtuellen Arbeit zum Zeitpunkt \(t + \Delta t\) nimmt abhängig von der Wahl der Referenzkonfiguration zwei Formen an: die Updated-Lagrange- und die Total-Lagrange-Formulierung. In diesem Kapitel wird die in Formfunktionen und Finite-Elemente-Approximation und Räumliche Ableitungen der Formfunktionen eingeführte Finite-Elemente-Approximation verwendet, um die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte beider Formulierungen räumlich zu diskretisieren und die Element-Innenkraftvektoren \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) und \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL) zu erhalten.

Für das Element \(e\) seien die zugehörigen Knoten \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); ihre Verschiebungen seien \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), und der Element-Knotenverschiebungsvektor werde als \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) angeordnet. Die virtuelle Verschiebung \(\delta \boldsymbol{u}^e\) wird in derselben Reihenfolge definiert. Die Verschiebung innerhalb des Elements wird mit den Formfunktionen als \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\) interpoliert.

Virtuelle Arbeit der inneren Kräfte in der Updated-Lagrange-Formulierung

In der Updated-Lagrange-Formulierung wird zum Zeitpunkt \(t\) die aktuelle Konfiguration \({}^{t}\Omega\) als Referenzkonfiguration verwendet, und die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte wird mit der Cauchy-Spannung \(\boldsymbol{\sigma}\) und dem linearen Anteil der Almansi-Dehnung \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) wie folgt geschrieben:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Jede Komponente von \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) kann unter Verwendung der Koordinaten \(\boldsymbol{x}\) der aktuellen Konfiguration als Linearkombination der Ableitungen der Formfunktionen \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) und der virtuellen Knotenverschiebungen \(\delta u^e_{i\alpha}\) ausgedrückt werden. In Voigt-Notation lässt sich dies zusammenfassen als

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Der Knotenblock \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) wird gebildet, indem \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) gemäß der Voigt-Konvention zu einer \(6 \times 3\)-Matrix angeordnet wird; \(\boldsymbol{B}_L\) ist die Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix der UL-Formulierung. Durch Einsetzen in die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte und Ausklammern von \(\delta \boldsymbol{u}^e\) erhält man

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Für \(\boldsymbol{q}^e\) ist der Knotenblock \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) die innere Kraft des Elements \(\Omega^e\), die auf den zugehörigen Knoten \(\alpha\) wirkt.

Virtuelle Arbeit der inneren Kräfte in der Total-Lagrange-Formulierung

In der Total-Lagrange-Formulierung wird die Anfangskonfiguration \(\Omega_0\) als Referenzkonfiguration verwendet, und die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte wird mit der zweiten Piola-Kirchhoff-Spannung \(\boldsymbol{S}\) und der Green-Lagrange-Dehnung \(\boldsymbol{E}\) wie folgt geschrieben:

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Die Variation \(\delta \boldsymbol{E}\) wird in einen bezüglich der virtuellen Verschiebung linearen Term und einen nichtlinearen Term zerlegt, der Produkte mit dem aktuellen Verschiebungsgradienten \(\partial u_k/\partial X_j\) enthält:

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Der lineare Term kann geschrieben werden, indem dieselbe Anordnungsregel wie in der UL-Formulierung auf \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) angewendet wird und so der Knotenblock \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) entsteht:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Wegen der unterschiedlichen Referenzkonfiguration ändern sich lediglich die zugrunde liegenden Ableitungen von \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) zu \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); es wird dasselbe Symbol wie in der UL-Formulierung verwendet. Der nichtlineare Term verwendet Produkte des aktuellen Verschiebungsgradienten \(\partial u_k/\partial X_j\) mit \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), die gemäß der Voigt-Konvention zum Knotenblock \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) angeordnet werden:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Damit gilt \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), und \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) ist die Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix der TL-Formulierung. Durch Einsetzen in die virtuelle Arbeit der inneren Kräfte erhält man

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Der Knotenblock \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) ist die innere Kraft des Elements \(\Omega^e_0\), die auf den zugehörigen Knoten \(\alpha\) wirkt.

Entsprechung zwischen UL/TL und Berechnungsablauf

Die Element-Innenkraftvektoren der Updated-Lagrange- und Total-Lagrange-Formulierung entsprechen einander wie folgt.

Element Updated-Lagrange-Formulierung Total-Lagrange-Formulierung
Referenzkonfiguration Aktuelle Konfiguration \({}^{t}\Omega^e\) Anfangskonfiguration \(\Omega^e_0\)
Spannungstensor Cauchy-Spannung \(\boldsymbol{\sigma}\) Zweite PK-Spannung \(\boldsymbol{S}\)
Dehnungsvariation \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
B-Matrix \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Element-Innenkraft \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Beide werden nach demselben Verfahren verarbeitet: \(\boldsymbol{B}_L\) wird aus den räumlichen Ableitungen der Formfunktionen konstruiert; in der TL-Formulierung wird \(\boldsymbol{B}_{NL}\) aus dem aktuellen Verschiebungsgradienten aufgebaut und addiert; die Spannung (\(\boldsymbol{\sigma}\) oder \(\boldsymbol{S}\)) wird gemäß dem Stoffgesetz aktualisiert; und \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) bzw. \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) wird an den Integrationspunkten über das Elementgebiet numerisch integriert (Numerische Integration). Abgesehen von der Umschaltung der Referenzkonfiguration (Knotenkoordinaten und Konstruktion der \(\boldsymbol{B}\)-Matrix) und dem Austausch des Spannungstensors ist die Verarbeitung identisch, sodass FrontISTR die Innenkraftberechnung für beide Formulierungen mit gemeinsamen Unterprogrammen implementiert. Die Assemblierung der Element-Innenkraftvektoren \(\boldsymbol{q}^e\) und \(\boldsymbol{Q}^e\) zum globalen Innenkraftvektor wird in Virtuelle Arbeit der äußeren Kräfte und Assemblierung der globalen Gleichungen behandelt.

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