Verifikation anhand eines Modells mit einfacher Geometrie

Elastische statische Analyse

Für diese Verifikation wird ein Kragträger verwendet, der wie in Abbildung 9.1.1 dargestellt vernetzt ist. Es wurden Analysen für sieben Fälle, exA bis exG, mit den in Abbildung 9.1.2 dargestellten unterschiedlichen Lastbedingungen durchgeführt. Fall exG weist dieselben Lastbedingungen wie exA auf, verwendet jedoch einen direkten Solver.

Die Verifikationsergebnisse für die einzelnen Lastbedingungen sind in den Tabellen 9.1.1–9.1.7 dargestellt.

Abb. 9.1.1 Beispiel für die Vernetzung des Kragträgers (Hexaederelemente)

	(a) exA, G: Konzentrierte Last
	(b) exD: Schwerkraft
	(c) exB: Verteilte Flächenlast
	(d) exE: Zentrifugalkraft
	(e) exC: Volumenlast
	(f) exF : Thermische Last

Posten	Wert
Elastizitätsmodul	\(E = 4000.0\ kgf/mm^2\)
Länge	\(L = 10.0\ mm\)
Querkontraktionszahl	\(\nu = 0.3\)
Querschnittsfläche	\(A = 1.0\ mm^2\)
Massendichte	\(\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4\)
Flächenträgheitsmoment	\(I = 1.0/12.0\ mm^4\)
Erdbeschleunigung	\(g = 9800.0\ mm/s^2\)
Linearer Wärmeausdehnungskoeffizient	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Tabelle 9.1.2 Verifikationsbedingungen für das Kragträgermodell

Tabelle 9.1.1: exA: Verifikationsergebnisse des Problems mit konzentrierter Last

Fallname	Anzahl der Elemente		Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max}= -1.000\)		Bemerkungen
		NASTRAN	Kommerzielle Software	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 Knoten / ebener Spannungszustand
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 Knoten / ebener Spannungszustand
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 Knoten / ebener Spannungszustand
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 Knoten / ebener Spannungszustand
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 Knoten
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 Knoten
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 Knoten
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 Knoten
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 Knoten
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 Knoten
A731	40	-	-	-0.991	33 Knoten / direktes Verfahren
A741	20	-	-	-0.996	33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.2: exB: Verifikationsergebnisse des Problems mit verteilter Flächenlast

Fallname	Anzahl der Elemente		Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max}= -3.750\)		Bemerkungen
		NASTRAN	Kommerzielle Software	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 Knoten / ebener Spannungszustand
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 Knoten / ebener Spannungszustand
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 Knoten / ebener Spannungszustand
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 Knoten / ebener Spannungszustand
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 Knoten
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 Knoten
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 Knoten
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 Knoten
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 Knoten
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 Knoten
B731	40	-	-	-3.722	33 Knoten / direktes Verfahren
B741	20	-	-	-3.743	33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.3: exC: Verifikationsergebnisse des Volumenlastproblems

Fallname	Anzahl der Elemente		Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Bemerkungen
		NASTRAN	Kommerzielle Software	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 Knoten / ebener Spannungszustand
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 Knoten / ebener Spannungszustand
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 Knoten / ebener Spannungszustand
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 Knoten / ebener Spannungszustand
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 Knoten
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 Knoten
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 Knoten
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 Knoten
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 Knoten
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 Knoten
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 Knoten / direktes Verfahren
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.4: exD: Verifikationsergebnisse des Schwerkraftproblems

Fallname	Anzahl der Elemente		Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max}= -2.944^{-5}\)		Bemerkungen
		NASTRAN	Kommerzielle Software	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 Knoten / ebener Spannungszustand
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 Knoten / ebener Spannungszustand
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 Knoten / ebener Spannungszustand
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 Knoten / ebener Spannungszustand
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 Knoten
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 Knoten
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 Knoten
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 Knoten
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 Knoten
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 Knoten
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 Knoten / direktes Verfahren
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.5: exE: Verifikationsergebnisse des Zentrifugalkraftproblems

Fallname	Anzahl der Elemente		Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max}= 2.635^{-3}\)		Bemerkungen
		NASTRAN	Kommerzielle Software	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 Knoten / ebener Spannungszustand
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 Knoten / ebener Spannungszustand
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 Knoten / ebener Spannungszustand
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 Knoten / ebener Spannungszustand
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 Knoten
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 Knoten
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 Knoten
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 Knoten
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 Knoten
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 Knoten
E731	40	-	-	2.619e-3	33 Knoten / direktes Verfahren
E741	20	-	-	2.622e-3	33 Knoten / direktes Verfahren

Tabelle 9.1.6: exF: Verifikationsergebnisse des Problems mit thermischer Spannungslast

Fallname	Anzahl der Elemente		Vorhergesagter Wert : \(\delta_{max}= 1.000^{-2}\)		Bemerkungen
		NASTRAN	Kommerzielle Software	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 Knoten / ebener Spannungszustand
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 Knoten / ebener Spannungszustand
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 Knoten / ebener Spannungszustand
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 Knoten / ebener Spannungszustand
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 Knoten
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 Knoten
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 Knoten
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 Knoten
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 Knoten
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 Knoten

Tabelle 9.1.7: exG: Verifikationsergebnisse des direkten Verfahrens (Problem mit konzentrierter Last)

Fallname	Anzahl der Elemente		Vorhergesagter Wert: δmax= -1.000		Bemerkungen
		NASTRAN	Kommerzielle Software	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 Knoten / ebener Spannungszustand
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 Knoten / ebener Spannungszustand
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 Knoten / ebener Spannungszustand
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 Knoten / ebener Spannungszustand
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 Knoten
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	52 Knoten
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 Knoten
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 Knoten
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 Knoten
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 Knoten
G731	40	-	-	-0.991	33 Knoten / direktes Verfahren
G741	20	-	-	-0.996	33 Knoten / direktes Verfahren

Nichtlineare statische Analyse

(2-1) exnl1: Geometrisch nichtlineare Analyse

Das Verifikationsmodell für Fall exI ist mit den Modellen der Fälle exA bis exG identisch. Abbildung 9.1.3 zeigt eine schematische Darstellung des Verifikationsmodells. An diesem Modell wird eine geometrisch nichtlineare Analyse durchgeführt. Die Verifikationsergebnisse sind in Tabelle 9.1.8 dargestellt.

Die nichtlineare Berechnung verwendet 10 Lastschritte mit einem Lastinkrement von 0.1P bis zur Endlast von 1.0P.

Abb. 9.1.3 Verifikationsmodell

Tabelle 9.1.8 exI: Verifikationsergebnisse (Verlauf der maximalen Durchbiegung)

Fallname	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Lineare Lösung
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: Elastoplastische Verformungsanalyse

Dieses Verifikationsproblem basiert auf dem Test NL1 der National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) von NAFEMS, und führt eine elastoplastische Verformungsanalyse unter Berücksichtigung geometrischer Nichtlinearität und mehrerer Verfestigungsregeln durch. Abbildung 9.1.4 zeigt das Analysemodell.

Abb. 9.1.4 Modell für die elastoplastische Verformungsanalyse

(1) Verifikationsbedingungen

Posten	Wert
Material	Mises-elastoplastisches Material
Elastizitätsmodul	\(E = 250 GPa\)
Querkontraktionszahl	\(\nu=0.25\)
Anfangsfließspannung	\(5 MPa\)
Anfangsfließdehnung	\(0.25\times10^{-4}\)
Isotroper Verfestigungskoeffizient	\(H_i = 0\) oder \(62.5 GPa\)

(2) Randbedingungen

Posten	Randbedingung	Wert
Schritt 1	Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 2 und 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Schritt 2	Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 2 und 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Schritt 3	Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 3 und 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Schritt 4	Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 3 und 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Schritt 5	Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 2 und 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Schritt 6	Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 2 und 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Schritt 7	Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 3 und 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Schritt 8	Vorgegebene Verschiebung an den Knoten 3 und 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Alle hier nicht aufgeführten Knoten sind vollständig festgehalten. Die theoretische Lösung für dieses Problem lautet wie folgt.

Dehnung (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Vergleichsspannung (\(MPa\)) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

Zum Vergleich lauten die Berechnungsergebnisse wie folgt.

Dehnung (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Vergleichsspannung (\(MPa\) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)])
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Kontaktanalyse (1)

Dieses Verifikationsproblem basiert auf dem Kontakt-Patch-Testproblem CGS-4 der National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), und prüft die Kontaktfunktion mit endlichem Gleiten und Reibung. Abbildung 9.1.5 zeigt das Analysemodell.

Abb. 9.1.5 Kontaktanalysemodell

Die Gleichgewichtsbedingung für dieses Problem lautet wie folgt.

\[ Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c} \]

In der Haftreibungsphase beträgt die Reibkraft [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] und in der Gleitreibungsphase beträgt sie [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

Der Vergleich zwischen den Berechnungsergebnissen und der analytischen Lösung lautet wie folgt.

\(\mu\)	\(F/G\) Analytische Lösung	\(F/G\) Berechnungsergebnisse
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Kontaktanalyse (2): Hertz-Kontaktproblem

In dieser Verifikation wird das Hertz-Kontaktproblem zwischen einem unendlich langen Zylinder und einer unendlichen Ebene analysiert. Der Zylinderradius beträgt R=8mm; der Elastizitätsmodul E und die Querkontraktionszahl µ des verformbaren Körpers betragen 1100Mpa bzw. 0.0. Es wird angenommen, dass die Kontaktfläche im Vergleich zum Zylinderradius hinreichend klein ist; unter Berücksichtigung der Symmetrie des Problems wird ein Viertelzylindermodell analysiert.

Abb. 9.1.6 Analysemodell für das Hertz-Kontaktproblem

(1) Verifikationsergebnisse für den Kontaktradius

Die theoretische Formel zur Berechnung des Kontaktradius lautet wie folgt:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

wobei [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . Unter den vorliegenden Berechnungsbedingungen beträgt der Kontaktradius bei einem Druck von \(F=100\) \(a=1.36\).

Abbildung 9.1.7 zeigt die äquivalenten Knotenkräfte an den Kontaktpunkten. Der Kontaktradius wird durch Extrapolation dieser Knotenkräfteverteilung bestimmt.

Abb. 9.1.7 Verteilung der äquivalenten Knotenkräfte an den Kontaktpunkten

(2) Verifikationsergebnisse für die maximale Schubspannung

In der theoretischen Lösung gilt an der Kontaktposition [ z = 0.78a ] die maximale Schubspannung beträgt [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . Unter den vorliegenden Berechnungsbedingungen [ \tau_{\max} = 14.2 ] . Zum Vergleich ergibt die Berechnung [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Abb. 9.1.8 Schubspannungsverteilung (Maximalwert = 15.6)

(3) Modalanalyse

Die Verifikationsmodelle für die Fälle exJ und exK sind mit den Modellen der Fälle exA bis exG identisch. Abbildung 9.1.9 zeigt eine schematische Darstellung des Verifikationsmodells. An diesem Modell wird eine Modalanalyse durchgeführt. Es werden die Eigenwerte erster bis dritter Ordnung berechnet. Fall exJ verwendet einen iterativen Solver, während Fall exK einen direkten Solver verwendet. Die Verifikationsergebnisse sind in den Tabellen 9.1.9 bis 9.1.12 dargestellt.

Abb. 9.1.9 Verifikationsmodell

Die Eigenfrequenzen des Kragträgers werden aus den folgenden Gleichungen bestimmt.

Erste Mode [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Zweite Mode [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Dritte Mode [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Die Kennwerte des Verifikationsmodells sind

Posten	Wert
\(I\)	\(10.0 mm\)
\(E\)	\(4000.0 kgf /mm^2\)
\(l\)	\(1.0/12.0 mm^4\)
\(\omega\)	\(7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3\)
\(g\)	\(9800.0 mm/sec^2\)

Damit ergeben sich die Eigenwerte bis zur dritten Mode wie folgt:

Modennummer	Wert
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tabelle 9.1.9: exJ: Verifikationsergebnisse des iterativen Verfahrens für den ersten Eigenwert

Fallname	Anzahl der Elemente	Vorhergesagter Wert : n1=3.609e3		Bemerkungen
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 Knoten / ebener Spannungszustand
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 Knoten / ebener Spannungszustand
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 Knoten / ebener Spannungszustand
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 Knoten / ebener Spannungszustand
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 Knoten
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 Knoten
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 Knoten
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 Knoten
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 Knoten
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 Knoten

Tabelle 9.1.10: Verifikationsergebnisse des iterativen Verfahrens für exJ mit dem zweiten Eigenwert

Fallname	Anzahl der Elemente	Vorhergesagter Wert : n2=2.262e4		Bemerkungen
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 Knoten / ebener Spannungszustand
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 Knoten / ebener Spannungszustand
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 Knoten / ebener Spannungszustand
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 Knoten / ebener Spannungszustand
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 Knoten
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 Knoten
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 Knoten
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 Knoten
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 Knoten
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 Knoten

Hinweis: Bei den dreidimensionalen (3D) Modellen besitzen der erste und der zweite Wert gleiche Wurzeln. Daher stellt der zweite Wert in der Tabelle den dritten Berechnungswert dar.

Tabelle 9.1.11: Verifikationsergebnisse des direkten Verfahrens für exK mit dem ersten Eigenwert

Fallname	Anzahl der Elemente	Vorhergesagter Wert : n1=3.609e3		Bemerkungen
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 Knoten / ebener Spannungszustand
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 Knoten / ebener Spannungszustand
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 Knoten / ebener Spannungszustand
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 Knoten / ebener Spannungszustand
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 Knoten
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 Knoten
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 Knoten
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 Knoten
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 Knoten
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 Knoten
J731	40	-	3.606e3	220 Knoten
J741	20	-	3.594e3	220 Knoten

Tabelle 9.1.12: Verifikationsergebnisse des direkten Verfahrens für exK mit dem zweiten Eigenwert

Fallname	Anzahl der Elemente	Vorhergesagter Wert : n2=2.262e4		Bemerkungen
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 Knoten / ebener Spannungszustand
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 Knoten / ebener Spannungszustand
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 Knoten / ebener Spannungszustand
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 Knoten / ebener Spannungszustand
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 Knoten
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 Knoten
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 Knoten
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 Knoten
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 Knoten
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 Knoten
J731	40	-	2.156e4	220 Knoten
J741	20	-	2.153e4	220 Knoten

Hinweis: Bei den 3D-Modellen besitzen der erste und der zweite Wert gleiche Wurzeln. Daher stellt der zweite Wert in der Tabelle den dritten Berechnungswert dar.

(4) Wärmeleitungsanalyse

Die gemeinsamen Bedingungen für die stationären Wärmeleitungsanalysen sind in Abbildung 9.1.10 dargestellt. Die einzelnen Bedingungen für die Verifikationsfälle exM bis exT sind in Abbildung 9.1.11 dargestellt. Die Netzeinteilung entspricht der für exA verwendeten.

Die Verifikationsergebnisse (Temperaturverteilungstabellen) der einzelnen Fälle sind in den Tabellen 9.1.13–9.1.20 dargestellt.

Länge zwischen AB	\(L = 10.0m\)
Querschnittsfläche	\(A = 1.0 mm^2\)

Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit

Wärmeleitfähigkeit \(\lambda(W/mK)\)	Temperatur \((^\circ C)\)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Abb. 9.1.10: Verifikationsbedingungen der stationären Wärmeleitungsanalyse

exM: Lineares Material
exN: Problem mit vorgegebener Temperatur
exO: Problem mit konzentriertem Wärmestrom
exP: Problem mit verteiltem Wärmestrom
exQ: Problem mit konvektivem Wärmeübergang
exR: Problem mit Wärmestrahlung
exS: Problem mit volumetrischer Wärmeerzeugung
exT: Problem mit internem Spalt

Abb. 9.1.11: Analysebedingungen für die einzelnen Verifikationsfälle

Tabelle 9.1.13: Verifikationsergebnisse von exM (stationäre Berechnung mit linearem Material)

Fallname	Elementtyp	Elemente/Knoten	Abstand von Ende A (m)
			Kante A	2.0	4.0	6.0	8,0	Kante B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tabelle 9.1.14: Verifikationsergebnisse von exN (Problem mit vorgegebener Temperatur)

Fallname	Elementtyp	Elemente/Knoten	Abstand von Ende A (m)
			Kante A	2.0	4.0	6.0	8,0	Kante B
Kommerzielle Software	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tabelle 9.1.15: Verifikationsergebnisse von exO (Problem mit konzentriertem Wärmestrom)

Fallname	Elementtyp	Elemente/Knoten	Abstand von Ende A (m)
			Kante A	2.0	4.0	6.0	8,0	Kante B
Kommerzielle Software	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabelle 9.1.16: Verifikationsergebnisse von exP (Problem mit verteiltem Wärmestrom)

Fallname	Elementtyp	Elemente/Knoten	Abstand von Ende A (m)
			Kante A	2.0	4.0	6.0	8,0	Kante B
Kommerzielle Software	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabelle 9.1.17: Verifikationsergebnisse von exQ (Problem mit konvektivem Wärmeübergang)

Fallname	Elementtyp	Elemente/Knoten	Abstand von Ende A (m)
			Kante A	2.0	4.0	6.0	8,0	Kante B
Kommerzielle Software	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tabelle 9.1.18: Verifikationsergebnisse von exR (Problem mit Wärmestrahlung)

Fallname	Elementtyp	Elemente/Knoten	Abstand von Ende A (m)
			Kante A	2.0	4.0	6.0	8,0	Kante B
Kommerzielle Software	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tabelle 9.1.19: Verifikationsergebnisse von exS (Problem mit volumetrischer Wärmeerzeugung)

Fallname	Elementtyp	Elemente/Knoten	Abstand von Ende A (m)
			Kante A	2.0	4.0	6.0	8,0	Kante B
Kommerzielle Software	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabelle 9.1.20: Verifikationsergebnisse von exT (Problem mit internem Spalt)

Fallname	Elementtyp	Elemente/Knoten	Abstand von Ende A (m)
			Kante A	2.0	4.0	6.0	8,0	Kante B
Kommerzielle Software	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

(5) Lineare dynamische Analyse

In exW wird eine lineare dynamische Analyse am selben Kragträger wie in Punkt (1) durchgeführt. Abbildung 9.1.12 zeigt die Verifikationsbedingungen. Bei gleicher Netzeinteilung wird der Einfluss des Zeitinkrements auf die Ergebnisse verifiziert. Es werden sowohl implizite als auch explizite Zeitintegrationsverfahren mit den Elementtypen 361 und 342 verwendet. Die Verifikationsergebnisse sind in Tabelle 9.1.22 und den Abbildungen 9.1.13 bis 9.1.15 dargestellt.

Analysemodell

Zeitverlauf der äußeren Kraft F

Die theoretische Lösung für die Verschiebung des Schwingungspunkts lautet wie folgt:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

wobei

\[ F_0:Constant\ vector \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Abb. 9.1.12: Verifikationsbedingungen der linearen dynamischen Analyse

Verifikationsbedingungen:

Länge	\(L\)	\(10.0\ mm\)
Querschnittsbreite	\(a\)	\(1.0\ mm\)
Querschnittshöhe	\(b\)	\(1.0\ mm\)
Elastizitätsmodul	\(E\)	\(4000.0\ kgf/mm^2\)
Querkontraktionszahl	\(\nu\)	\(0.3\)
Dichte	\(\rho\)	\(1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3\)
Erdbeschleunigung	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Äußere Kraft	\(F_0\)	\(1.0\ kgf\)

Element	Lineares Hexaederelement
Tetraederelement zweiter Ordnung
Lösung	Implizites Verfahren
Parameter \(\gamma\) des Newmark-\(\beta\)-Verfahrens	1/2
Parameter \(\beta\) des Newmark-\(\beta\)-Verfahrens	1/4
Explizites Verfahren
Dämpfung	Keine

Tabelle 9.1.21: Verifikationsbedingungen der linearen dynamischen Analyse (Fortsetzung)

Fallname	Elementtyp	Anzahl der Knoten	Anzahl der Elemente	Lösung	Zeitinkrement \(\Delta t\) [sec]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Implizites Verfahren	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Implizites Verfahren	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Implizites Verfahren	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Implizites Verfahren	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Implizites Verfahren	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Implizites Verfahren	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Explizites Verfahren	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Explizites Verfahren	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Explizites Verfahren	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Explizites Verfahren	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Explizites Verfahren	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Explizites Verfahren	1.0E-07

Tabelle 9.1.22: Verifikationsergebnisse der linearen dynamischen Analyse von exW (Kragträger)

Fallname	Elementtyp	Anzahl der Knoten	Anzahl der Elemente	Verfahren	Verschiebung in z-Richtung zum Zeitpunkt t=0.002 sec [mm]
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Implizites Verfahren	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Implizites Verfahren	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Implizites Verfahren	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Implizites Verfahren	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Implizites Verfahren	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Implizites Verfahren	1.9753	Divergiert
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Explizites Verfahren	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Explizites Verfahren	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Explizites Verfahren	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Explizites Verfahren	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Explizites Verfahren	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Explizites Verfahren	1.9753	Divergiert

Abb. 9.1.13: Verformungsdarstellung und Vergleichsspannungsverteilung des Kragträgers (W361_c0_im_m2_t2)

(a) Elementtyp 361: Implizites Verfahren

(b) Elementtyp 361: Explizites Verfahren

Abb. 9.1.14 Zeitverlauf der Verschiebung \(u_z\) am Anregungspunkt

(a) Elementtyp 342: Implizites Verfahren

(b) Elementtyp 342: Explizites Verfahren

Abb. 9.1.14: Zeitverlauf der Verschiebung \(u_z\) am Schwingungspunkt

Frequenzganganalyse

In dieser Verifikation wird eine Frequenzganganalyse an einem Kragträger durchgeführt und durch Vergleich mit Ergebnissen eines universellen kommerziellen Solvers validiert. Das Analysemodell und die Verifikationsbedingungen sind nachstehend dargestellt.

Analysebedingungen:

Elastizitätsmodul	\(E\)	\(210000\ N/mm^2\)
Querkontraktionszahl	\(\nu\)	\(0.3\)
Dichte	\(\rho\)	\(7.89E-09\ t/mm^3\)
Erdbeschleunigung	\(g\)	\(9800.0\ mm/s^2\)
Last	\(F_0\)	\(1.0\ N\)
Parameter der Rayleigh-Dämpfung	\(R_m\)	\(0.0\)
Parameter der Rayleigh-Dämpfung	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Abb. 9.1.15: Analysemodell (lineares Tetraederelement (126 Elemente und 55 Knoten))

Die Eigenwerte bis zur fünften Ordnung und der aus der Eigenwertanalyse erhaltene Frequenzgang der Schwingungspunkte lauten wie folgt:

Mode	FrontISTR	Kommerzielle Software
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Abb. 9.1.16: Frequenzabhängigkeit des Verschiebungsbetrags der Schwingungspunkte