انتقل إلى المحتوى

معالجة الشروط الحدّية الهندسية

تحل طريقة نيوتن-رافسون المعادلة الخطية \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) في كل تكرار، إلا أن الشروط الحدّية الهندسية (قيود الإزاحة) لم تُدرج بعد في هذه المعادلة. يوضح هذا الفصل كيفية تعديل مصفوفة الصلابة \(\boldsymbol{K}\) ومتجه المتبقي \(\boldsymbol{R}\) لدرجات الحرية التي تُطبّق عليها قيود الإزاحة \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) بحيث تصل الإزاحة بعد التكرار إلى القيمة المفروضة. تُعالج القيود متعددة النقاط (MPC) والقيود غير الخطية المرتبطة بالتلامس بصورة منفصلة؛ راجع القيود متعددة النقاط والتلامس.

سياسة الإبقاء على قيود الإزاحة كمتغيرات مجهولة

لا تعود إزاحة العقدة الخاضعة لشرط حدّي هندسي متغيرًا مجهولًا، بل تُثبَّت عند القيمة المفروضة \(\bar{u}_i\). ويمكن معاملة درجات الحرية هذه كثوابت وحذفها من المعادلة الخطية \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\)؛ غير أن FrontISTR يفرض القيود بتعديل \(\boldsymbol{K}\) و\(\boldsymbol{R}\) مع الإبقاء على درجات الحرية المقيدة داخل متجه التصحيح \(d\boldsymbol{u}\) بالطريقة نفسها المتبعة مع بقية درجات الحرية.

بهذا الأسلوب، لا تتغير أبعاد مصفوفة المعاملات ولا ترتيب درجات الحرية بحسب وجود القيود من عدمه، ولذلك لا توجد حاجة إلى حذف المتغيرات وإعادة رص الصفوف والأعمدة التي أصبحت شاغرة. ولأن إعادة الرص هذه مرهقة في تنفيذ يخزن مصفوفة المعاملات بصيغة مصفوفة متناثرة، يعتمد FrontISTR الأسلوب الأخير، حيث تُفرض القيود فقط بتحديث مصفوفة المعاملات والطرف الأيمن.

القيمة المستهدفة لتصحيحات نيوتن-رافسون

بالنسبة إلى درجة حرية مقيدة بالإزاحة \(i\)، لتكن قيمة التصحيح \(du_i\) الناتجة من تكرار نيوتن-رافسون كما يلي:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{التكرار الأول}) \\ 0 & (\text{التكرار الثاني وما بعده}) \end{cases} \]

تُعدَّل \(\boldsymbol{K}\) و\(\boldsymbol{R}\) بحيث يأخذ التصحيح هذه القيمة. وبذلك تصل زيادة الإزاحة إلى القيمة المفروضة \(\bar{u}_i\) في التكرار الأول؛ ومن التكرار الثاني فصاعدًا يصبح التصحيح \(0\) وتبقى القيمة المفروضة محفوظة.

إجراء تعديل المصفوفة ومتجه المتبقي

تتحقق القيمة المستهدفة الموضحة في القسم السابق بإجراء التعديلين التاليين مع الحفاظ على صيغة المعادلة الخطية \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. قطرنة الصف \(i\): استبدل الحد القطري \(K_{ii}\)، وهو معامل \(du_i\)، بالقيمة \(1\)، واستبدل جميع المعاملات الأخرى \(K_{ij}\ (j \not= i)\) بالقيمة \(0\)، واضبط الطرف الأيمن إلى \(R_i \to d\bar{u}_i\). عندئذ تصبح معادلة الصف \(i\) هي \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. النقل من الصفوف \(j(\not= i)\): لكل صف \(j(\not= i)\)، إذا كان \(K_{ji} \not= 0\)، فانقل الحد \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) إلى الطرف الأيمن. أي اطرح \(K_{ji} d\bar{u}_i\) من الطرف الأيمن واضبط معامل \(du_i\)، أي \(K_{ji}\)، إلى \(0\).

بصيغة المكونات، تقابل المعادلات قبل التعديل وبعده ما يلي.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

لنرمز إلى مصفوفة المعاملات المعدلة والطرف الأيمن المعدل بـ \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) على الترتيب. عندئذ تكون المعادلة الخطية التي تُحل في النهاية هي

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

إذا وُجدت عدة درجات حرية مقيدة، تُطبَّق التعديلات 1 و2 أعلاه بالتتابع على كل درجة حرية مقيدة \(i\).

نطاق المعالجة في تنفيذ المصفوفة المتناثرة

في التنفيذ، تُخزَّن مصفوفة المعاملات \(\boldsymbol{K}\) بصيغة مصفوفة متناثرة. لذلك تُجرى معالجة الصفوف \(j(\not= i)\) في الإجراء 2 من القسم السابق فقط للصفوف التي تحتوي على عناصر غير صفرية في العمود \(i\)، أي لدرجات حرية العقد المتصلة عبر العناصر بدرجة الحرية المقيدة \(i\). أما درجات الحرية غير المتصلة فلديها \(K_{ji} = 0\)، ومن ثم لا يغيّر نقل الحد الطرف الأيمن. ويتيح هذا القيد إتمام معالجة القيود باستخدام عمليات محلية فقط بالنسبة إلى العدد الكلي للعقد.

مواضيع ذات صلة