تحليل الاستجابة الترددية

صياغة المسألة

يقيّم تحليل الاستجابة الترددية سعة الاستجابة في الحالة المستقرة وطور النظام في مجال التردد عندما تتغير القوة الخارجية توافقيًا مع الزمن. ولأن معادلة الحركة الحاكمة تُعالج بصورة مختلفة بوجود التخميد وبدونه، يشتق هذا الفصل أولًا الأنماط الذاتية من الاهتزاز الحر غير المخمَّد، ثم يستخدمها كأساس نمطي لتوسيع الاستجابة التوافقية المخمَّدة.

الاهتزاز الحر غير المخمَّد والأنماط الذاتية

عند إهمال التخميد، تكون معادلة الحركة:

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

بتوسيع الإزاحة وفق كل نمط ذاتي نحصل على:

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

بالتعويض في المعادلة \(\eqref{eq:2.6.1}\) نحصل على:

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

هذه مسألة قيم ذاتية معممة. تُشرح طرق حلها العددية، بما في ذلك التكرار العكسي المزاح وطريقة Lanczos، في التحليل النمطي. يلخص هذا القسم خواص الترددات الطبيعية والأنماط الذاتية الناتجة التي تُستخدم في توسيع الاستجابة التوافقية لاحقًا.

حقيقية الترددات الطبيعية

يمكن إظهار أن التردد الطبيعي حقيقي كما يلي. لنضع \(\omega_j^2 = \lambda_j\). بأخذ المرافق المركب للمعادلة \(\eqref{eq:2.6.3}\) نحصل على المعادلة \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

وبالضرب في \(\overline{U}_J^T\) نحصل على:

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

من المعادلة \(\eqref{eq:2.6.5}\):

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

لأن مصفوفة الكتلة متناظرة وموجبة التعيين، فإن المتجه الذاتي غير الصفري يحقق:

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

وبالتالي:

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

ومن ثم فإن \(\omega_j^2 = \lambda_j\) حقيقي.

تعامد الأنماط الذاتية وتطبيعها

لنأخذ نمطين مختلفين.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

ينتج أن:

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

وعندما تكون القيم الذاتية مختلفة:

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

وبذلك تكون الأنماط الذاتية المختلفة متعامدة بالنسبة إلى مصفوفة الكتلة. أما للنمط نفسه، فإن التطبيع بالنسبة إلى مصفوفة الكتلة كما في المعادلة \(\eqref{eq:2.6.12}\) يبسّط المعالجة اللاحقة.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

الاستجابة التوافقية مع التخميد

فيما يلي تُعرض صياغة تحليل الاستجابة الترددية مع التخميد. تُعطى معادلة الحركة الحاكمة بالمعادلة \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

يُفترض أن حد التخميد من نوع Rayleigh، ويُعبَّر عنه بالمعادلة \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

باستخدام المتجهات الذاتية الناتجة من التحليل النمطي، يمكن توسيع متجه الإزاحة عند الزمن t كما في المعادلة \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

لنفترض أن حد القوة الخارجية يأخذ الشكل التوافقي:

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

نحدد بعد ذلك \(b_{j}(t)\). ولأن معادلة الحركة في المعادلة \(\eqref{eq:2.6.13}\) تأخذ شكل اهتزاز قسري،

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

تتحقق العلاقة أعلاه. ويُعطى الجزآن الحقيقي والتخيلي لمعامل التوسيع \(b_{j}(t)\) بالمعادلتين \(\eqref{eq:2.6.18}i\) و\(\eqref{eq:2.6.19}\) على الترتيب.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

وبذلك نحصل على معاملات الاستجابة التوافقية المطلوبة.

مواضيع ذات صلة

• التحليل النمطي — صياغة مسألة القيم الذاتية الأساسية
• طرق التحليل الديناميكي — التحليل الديناميكي في المجال الزمني
• أنواع التحليل — نظرة وظيفية عامة على تحليل الاستجابة الترددية