Ana içeriğe geç

Frekans Cevabı Analizi

Problem Formülasyonu

Frekans cevabı analizi, dış kuvvet zamanla harmonik olarak değiştiğinde sistemin kararlı durumdaki cevap genliğini ve fazını frekans alanında değerlendirir. Yönetici hareket denklemi sönümlü ve sönümsüz durumlarda farklı biçimde ele alındığından, bu bölüm önce sönümsüz serbest titreşimden özmodları türetir ve ardından bunları modal taban olarak kullanarak sönümlü harmonik cevabı açar.

Sönümsüz Serbest Titreşim ve Özmodlar

Sönüm ihmal edildiğinde hareket denklemi aşağıdaki gibidir.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Yer değiştirme her özmod cinsinden açıldığında,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

elde edilir. Bu ifade Denklem \(\eqref{eq:2.6.1}\) içine konulduğunda,

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

elde edilir. Bu genelleştirilmiş özdeğer probleminin kaydırmalı ters iterasyon ve Lanczos yöntemi dahil sayısal çözüm yöntemleri Modal Analiz bölümünde ele alınır. Bu bölümde, elde edilen doğal frekansların ve özmodların sonraki harmonik cevap açılımında kullanılan özellikleri özetlenir.

Doğal Frekansların Gerçek Olması

Doğal frekansın gerçek olduğu aşağıdaki şekilde gösterilebilir. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) olsun. Denklem \(\eqref{eq:2.6.3}\)'ün karmaşık eşleniği alınırsa Denklem \(\eqref{eq:2.6.4}\) elde edilir.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Bunu \(\overline{U}_J^T\) ile çarptığımızda,

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

elde edilir. Denklem \(\eqref{eq:2.6.5}\)'ten,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

elde edilir. Kütle matrisi simetrik pozitif tanımlı olduğundan, sıfır olmayan bir özvektör için

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

geçerlidir. Dolayısıyla,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

olur ve böylece \(\omega_j^2 = \lambda_j\) gerçektir.

Özmodların Ortogonalliği ve Normalizasyonu

İki farklı modu ele alalım.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Buradan,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

elde edilir ve özdeğerler farklı olduğunda,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

olur. Yani farklı özmodlar kütle matrisine göre ortogonaldir. Aynı mod için, Denklem \(\eqref{eq:2.6.12}\)'deki gibi kütle matrisine göre normalizasyon yapmak sonraki işlemleri kolaylaştırır.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Sönümlü Harmonik Cevap

Sırada sönümün dikkate alındığı frekans cevabı analizinin formülasyonu verilmektedir. Yönetici hareket denklemi Denklem \(\eqref{eq:2.6.13}\) ile verilir.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Sönüm teriminin Rayleigh tipi olduğu varsayılır ve Denklem \(\eqref{eq:2.6.14}\) biçiminde ifade edilir.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Modal analizden elde edilen özvektörler kullanılarak, t anındaki yer değiştirme vektörü Denklem \(\eqref{eq:2.6.15}\) biçiminde açılabilir.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Dış kuvvet teriminin aşağıdaki harmonik biçimde olduğunu varsayalım:

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Bu durumda \(b_{j}(t)\) belirlenir. Denklem \(\eqref{eq:2.6.13}\) içindeki hareket denklemi zorlanmış titreşim biçiminde olduğundan,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

geçerlidir. Açılım katsayısı \(b_{j}(t)\)'nin gerçek ve sanal kısımları sırasıyla Denklem \(\eqref{eq:2.6.18}i\) ve \(\eqref{eq:2.6.19}\) ile verilir.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Böylece istenen harmonik cevap katsayıları elde edilir.

İlgili Konular