Doğrusal Elastik Statik Analiz (Giriş)

Bu bölüm, sonsuz küçük deformasyon teorisine dayalı elastik statik analizin formülasyonunu sunar. Gerilme-gerinim ilişkisi için doğrusal elastisite varsayılır. Bu bölüm, sonlu elemanlarla yapısal analizin genel yapısını anlamaya yönelik bir giriş olarak tasarlanmış ve kendi içinde tamamlanmış tek bir bölüm biçiminde düzenlenmiştir.

Sanal iş ilkesinin genel teorisi (güncel konfigürasyon biçimi, başlangıç konfigürasyonu biçimi ve sonsuz küçük deformasyona indirgeme) için Sanal İş İlkesi; doğrusal elastik bünye yasasının ayrıntıları için Doğrusal Elastisite; tensör ve Voigt gösterimi kuralları için Tensör Gösterimi ve Matematiksel Temeller; sonlu deformasyonun genel formülasyonu için Hareket, Deformasyon ve Gerinim; doğrusal olmayan problemlerin çözüm yöntemleri için Teğet Rijitlik Matrisi bölümüne bakın.

Temel Denklemler

Sonsuz küçük deformasyon ve doğrusal elastisite varsayımları altında, katı mekaniğindeki sınır değer problemi denge denklemi, mekanik sınır koşulları ve geometrik sınır koşullarından (esas sınır koşulları) oluşur (bkz. Şekil 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{içinde} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{üzerinde} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{üzerinde} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Burada \(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy gerilmesi, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) birim hacim başına cisim kuvveti, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) öngörülen yüzey çekmesi, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) öngörülen yer değiştirme ve \(S_t, S_u\) sırasıyla mekanik ve geometrik sınırlardır.

Şekil 2.1.1 Katı mekaniğinde sınır değer problemi (sonsuz küçük deformasyon problemi)

Simetrik gradyan operatörü kullanılarak gerinim-yer değiştirme ilişkisi

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Doğrusal elastik bünye denklemi

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ile verilir; burada \(\boldsymbol{C}\) dördüncü mertebe elastisite tensörüdür.

Sanal İş İlkesi

Sanal iş ilkesinin genel biçimleri (güncel konfigürasyon biçimi, başlangıç konfigürasyonu biçimi ve sonsuz küçük deformasyona indirgeme) Sanal İş İlkesi bölümünde özetlenmiştir. Sonsuz küçük deformasyon ve doğrusal elastisite varsayımları altında zayıf form

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{üzerinde} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Bünye denklemi \eqref{eq:2.1.5} yerine konup Voigt gösteriminde \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) yazıldığında, doğrudan ayrıklaştırmada kullanılan biçim elde edilir:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

Burada \(D\), Doğrusal Elastisite bölümünde tanımlanan elastik matristir. \eqref{eq:2.1.10} ve \eqref{eq:2.1.7} denklemleri, aşağıda ayrıklaştırılan sanal iş ilkesini oluşturur.

Ayrıklaştırma ve Genel Denklemin Birleştirilmesi

Denklem\( \eqref{eq:2.1.10} \) içindeki sanal iş ilkesi sonlu elemanlar üzerinde ayrıklaştırıldığında

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Her eleman için yer değiştirme alanı, elemanı oluşturan düğümlerin yer değiştirmeleri kullanılarak aşağıdaki gibi enterpole edilir.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Gerinim daha sonra Denklem\(\eqref{eq:2.1.4}\) kullanılarak aşağıdaki gibi verilir.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Denklem\(\eqref{eq:2.1.12}\) ve \(\eqref{eq:2.1.13}\), Denklem\(\eqref{eq:2.1.11}\) içine yerleştirildiğinde

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Denklem \(\eqref{eq:2.1.14}\) şu biçimde yazılabilir:

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Burada, Denklem\(\eqref{eq:2.1.16}\) ve \(\eqref{eq:2.1.17}\) ile tanımlanan matris ve vektör bileşenleri her sonlu eleman için hesaplanabilir ve üst üste bindirme yoluyla birleştirilebilir.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Denklem\(\eqref{eq:2.1.15}\), keyfî bir sanal yer değiştirme \(\delta \boldsymbol{U}\) için geçerli olduğundan aşağıdaki denklem elde edilir.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Öte yandan, Denklem\(\eqref{eq:2.1.3}\) içindeki yer değiştirme sınır koşulu aşağıdaki gibi ifade edilir.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Denklem\(\eqref{eq:2.1.18}\), Denklem\(\eqref{eq:2.1.19}\) içindeki kısıt koşuluna tabi olarak çözülerek düğüm yer değiştirmesi \(\boldsymbol{U}\) belirlenebilir.

Ayrıca Bakınız