Gerilme ve Korunum Yasaları¶

Bu bölüm, gerilme tensörlerinin tanımlarını ve aralarındaki ilişkileri; kütlenin, doğrusal momentumun ve açısal momentumun korunmasından türetilen denge denklemleri ve gerilme simetrisiyle birlikte düzenlemektedir. Üç gerilme tensörü—Cauchy gerilmesi \(\boldsymbol{\sigma}\), birinci Piola-Kirchhoff gerilmesi \(\boldsymbol{P}\) ve ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesi \(\boldsymbol{S}\)—referans yüzey ve kuvvet vektörü için hangi konfigürasyonun kullanıldığına göre tanıtılır. Konfigürasyon, hareket ve deformasyon gradyanı tanımları için Hareket, Deformasyon ve Gerinim, sembol listesi için Fiziksel Nicelik Sembolleri Listesi bölümüne bakın.

Cauchy Gerilme Tensörü¶

Mevcut konfigürasyonda \(\boldsymbol{x}\) noktasındaki sonsuz küçük bir yüzeye (alan \(d\Gamma\), dışa bakan birim normal \(\boldsymbol{n}\)) etki eden kuvvet \(d\boldsymbol{f}\) olsun ve birim alan başına kuvvet olan çekme vektörü \(\boldsymbol{t}\), \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) ile tanımlansın. \(\boldsymbol{t}\) hem konum \(\boldsymbol{x}\)'e hem de normal \(\boldsymbol{n}\)'e bağlıdır. Momentum korunumu sonsuz küçük bir tetrahedrona uygulandığında \(\boldsymbol{t}\)'nin \(\boldsymbol{n}\) açısından doğrusal olduğu görülür; dolayısıyla aşağıdakini sağlayan ikinci mertebeden bir \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) tensörü vardır:

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

herhangi bir \(\boldsymbol{n}\) için (Cauchy gerilme teoremi). Bu \(\boldsymbol{\sigma}\) tensörüne Cauchy gerilme tensörü denir ve mevcut konfigürasyon geometrisine göre ölçülen birim alan başına kuvveti temsil ettiği için gerçek gerilme olarak da adlandırılır. \(\sigma_{ij}\) bileşeni, mevcut konfigürasyonda \(x_j\) koordinat eksenine normal sonsuz küçük bir yüzeye etki eden birim alan başına kuvvetin \(x_i\) bileşenini temsil eder.

Aşağıda açısal momentum korunumu kullanılarak gösterileceği üzere Cauchy gerilmesi simetrik bir tensördür:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Bu nedenle üç boyutta altı bağımsız bileşeni vardır (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Voigt gösteriminde gerilmenin vektörleştirilmesi bu simetriyi varsayar (bkz. Tensör Gösterimi ve Matematiksel Temeller). Cauchy gerilmesi, FrontISTR'ın Updated Lagrange yöntemiyle geometrik doğrusal olmayan analizinde ve küçük deformasyon analizinde gerilme çıktısı için kullanılır.

Birinci ve İkinci Piola-Kirchhoff Gerilmeleri¶

Sonlu deformasyonda gerilmeyi referans konfigürasyondaki yüzeylere ve vektörlere göre ifade etmek çoğu zaman uygundur; bu nedenle iki Piola-Kirchhoff gerilme tensörü tanımlanır. Referans konfigürasyondaki sonsuz küçük bir yüzeyin alanı \(d\Gamma_0\) ve dışa bakan birim normali \(\boldsymbol{N}\) olsun.

Birinci Piola-Kirchhoff gerilmesi (birinci PK gerilmesi, nominal gerilme) \(\boldsymbol{P}\), mevcut konfigürasyondaki \(d\boldsymbol{f}\) kuvvetinin referans konfigürasyondaki sonsuz küçük bir yüzeye uygulanmasıyla elde edilen gerilme tensörü olarak tanımlanır:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Nanson formülü \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) ile Cauchy gerilme teoremi birlikte kullanıldığında Cauchy gerilmesiyle olan ilişki elde edilir:

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Birinci PK gerilmesi genel olarak simetrik değildir.

İkinci Piola-Kirchhoff gerilmesi (ikinci PK gerilmesi) \(\boldsymbol{S}\), mevcut konfigürasyondaki \(d\boldsymbol{f}\) kuvvetinin \(\boldsymbol{F}^{-1}\) ile referans konfigürasyona geri çekilip referans konfigürasyondaki sonsuz küçük bir yüzeye uygulanmasıyla elde edilen gerilme tensörü olarak tanımlanır:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Hem kuvvet vektörü hem de etki ettiği yüzey referans konfigürasyon nicelikleriyle ifade edildiğinden, rijit cisim dönmesine göre değişmezdir ve simetriktir. Birinci PK gerilmesiyle ilişkisi ve Cauchy gerilmesinden dönüşümü aşağıdaki gibidir:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

İkinci PK gerilmesi, hiperelastik bir gerinim-enerji fonksiyonu \(W(\boldsymbol{C})\)'den \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) olarak türetilir ve Total Lagrange yönteminde Green-Lagrange gerinimi \(\boldsymbol{E}\) ile birlikte iş-eşlenik çift \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) olarak kullanılır.

Referans konfigürasyonlar ve simetri özellikleri aşağıda özetlenmiştir. Küçük deformasyon sınırında (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) üç gerilme aynı olur.

Gerilme tensörü	Referans yüzey	Kuvvet vektörü	Simetri	Uygulama
Cauchy gerilmesi \(\boldsymbol{\sigma}\)	Mevcut konfigürasyon \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Mevcut konfigürasyon \(d\boldsymbol{f}\)	Simetrik	Updated Lagrange yöntemi / küçük deformasyon analizi
Birinci PK gerilmesi \(\boldsymbol{P}\)	Referans konfigürasyon \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Mevcut konfigürasyon \(d\boldsymbol{f}\)	Genel olarak simetrik değil	Referans konfigürasyondaki denge denklemleri
İkinci PK gerilmesi \(\boldsymbol{S}\)	Referans konfigürasyon \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referans konfigürasyon \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Simetrik	Total Lagrange yöntemi / hiperelastisite

Kütle ve Momentumun Korunumu ve Denge Denklemleri¶

Mevcut konfigürasyondaki kütle yoğunluğu \(\rho\), referans konfigürasyondaki kütle yoğunluğu ise \(\rho_0\) olsun. Kütlenin korunumu yasası \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), hacim elemanı dönüşümü \(dv = J\, dV\) ile birlikte yerel biçime indirgenir:

\[ \rho_0 = J \rho \]

Bu, yerel kütle korunumu bağıntısıdır.

Birim kütle başına cisim kuvveti \(\boldsymbol{g}\) ve ivme \(\boldsymbol{a}\) olsun. Cauchy gerilme teoremi ve Gauss diverjans teoreminin doğrusal momentum korunmasına (Euler'in birinci hareket yasası) uygulanması, mevcut konfigürasyonda yerel denge denklemini (hareket denklemini) verir:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Nanson formülü ve \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) kullanılarak integral referans konfigürasyonda yeniden yazıldığında referans konfigürasyondaki yerel biçim elde edilir:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

İki biçim, gerilme dönüşüm kuralı ve \(\rho_0 = J\rho\) aracılığıyla eşdeğerdir. Atalet terimi ihmal edildiğinde

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

elde edilir; bu, statik denge denklemidir ve FrontISTR statik analizinin (doğrusal ve doğrusal olmayan) başlangıç noktasını oluşturur.

Açısal Momentumun Korunumu ve Gerilme Simetrisi¶

Açısal momentum korunumu (Euler'in ikinci hareket yasası), doğrusal momentum korunumundan elde edilen denge denklemiyle birleştirildiğinde Cauchy gerilme tensörünün simetrisi elde edilir:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Dolayısıyla üç boyutta altı bağımsız bileşeni vardır. \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) dönüşümünün her iki tarafının transpozu alınıp \(\boldsymbol{F}\)'nin tekil olmaması kullanıldığında ikinci PK gerilmesinin de simetrik olduğu görülür:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

ve dolayısıyla onun da altı bağımsız bileşeni vardır. Buna karşılık birinci PK gerilmesi \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) genel olarak simetrik değildir; yalnızca \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) bağıntısı geçerlidir (yani \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) simetriktir) ve dokuz bağımsız bileşeni vardır.

Bu simetriler, gerilmenin Voigt gösteriminde altı bileşenli bir vektör olarak ifade edilmesinin temelidir. Voigt gösterimi kuralları ve malzeme matrislerinin oluşturulması için Tensör Gösterimi ve Matematiksel Temeller ve Doğrusal Elastisite bölümlerine bakın.