Ana içeriğe geç

Tensör Gösterimi ve Matematiksel Temeller

Bu bölüm, FrontISTR Teori Kılavuzu'nun sonraki bölümlerinde kullanılan tensör gösterimi, indis gösterimi ve Voigt gösterimi kurallarını bir araya getirir. Burada yalnızca fiziksel niceliklerin tanımlarına bağlı olmayan salt gösterim kuralları açıklanmaktadır. Sürekli ortam hareketiyle ilişkili konfigürasyona (referans/mevcut konfigürasyon) bağlı olan büyük/küçük harf ayrımı ile maddesel ve uzaysal türevler arasındaki ayrım gibi gösterim kuralları, konfigürasyon kavramının tanıtıldığı Hareket, Deformasyon ve Gerinim bölümünde verilmektedir.

Tensör Gösterimi

Kalın Yazı Tipinde Vektör ve Tensör Gösterimi

Tipografik bir kural olarak, skaler nicelikler ile vektör ve tensörlerin bileşenleri normal yazı tipinde (örneğin \(\rho\) ve \(x_i\)), vektör ve tensör niceliklerinin kendileri ise kalın yazı tipinde (örneğin \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) ve \(\boldsymbol{\sigma}\)) yazılır.

Einstein Toplama Kuralı

Aksi belirtilmedikçe Einstein toplama kuralı kullanılır: aynı indis aynı terimde iki kez göründüğünde bu indis üzerinden toplama yapılır. Örneğin

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

ve \(\boldsymbol{A}\) ile \(\boldsymbol{B}\) tensörlerinin çarpımı \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) için \(i,j\) bileşeni

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

İndis kuralı olarak, \(i, j, k, l, \ldots\) indisleri başka bir niteleme olmaksızın kullanıldığında serbestlik dereceleriyle ilişkili indisleri (üç boyutta \(1, 2, 3\)), küçük Yunan harfleri \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) indis olarak kullanıldığında ise bir elemanı oluşturan düğümlerle ilişkili indisleri gösterir.

İç Çarpım, Transpoz ve Tensör Çarpımı

\(\boldsymbol{A}\) tensörünün transpozu \(\boldsymbol{A}^T\) ile gösterilir. İkinci mertebeden \(\boldsymbol{A}\) ve \(\boldsymbol{B}\) tensörlerinin iç çarpımı (çift daralma) şu şekilde yazılır:

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

\(\boldsymbol{a}\) ve \(\boldsymbol{b}\) vektörlerinin iç çarpımı \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), tensör çarpımları ise \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\)'dir.

Voigt Gösterimi

Gerilme ve gerinim, serbestlik derecelerine göre simetrik ikinci mertebeden tensörlerdir; aralarındaki doğrusal ilişkiyi temsil eden katsayılar ise dördüncü mertebeden bir tensör oluşturur. Bunları bir programda doğrudan işlemek hesaplama maliyeti ve kodlama açısından dezavantajlıdır (çok boyutlu diziler ve derin iç içe döngüler). Bu nedenle genel sonlu eleman programları simetriden yararlanarak gerilme ve gerinimi sütun vektörlerine, dördüncü mertebeden elastisite tensörünü ise iki boyutlu bir matrise sıkıştırır. Buna Voigt gösterimi denir.

Bundan sonra bir tensör niceliği \(\boldsymbol{A}\)'nın matris veya vektör gösterimi, özgün tensörden ayırt etmek için \(\hat{A}\) ile gösterilecektir.

Gerilme ve Gerinimin Vektör Gösterimi

Simetrik gerilme tensörü \(\boldsymbol{\sigma}\) ve gerinim tensörü \(\boldsymbol{\varepsilon}\) için, iki boyutta

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

üç boyutta

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

yukarıda gösterildiği gibi sütun vektörleri olarak ele alınırlar. Aynı kural varyasyonlar ve diferansiyeller gibi türetilmiş niceliklere de uygulanır. Gerinim tarafındaki kayma bileşenlerinin 2 katsayısına sahip olduğuna dikkat edin (gerilme tarafında yoktur). Bu asimetri sayesinde tensör iç çarpımı, vektör iç çarpımı olarak kompakt biçimde yazılabilir:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

Uygulamada kayma gerinimi bileşenlerindeki 2 katsayısının hatalı ele alınması kolaydır; bu nedenle "gerilmede yok / gerinimde var" kuralı daima akılda tutulmalıdır. Referans konfigürasyondaki niceliklere (ikinci Piola-Kirchhoff gerilmesi \(\boldsymbol{S}\) ve Green-Lagrange gerinimi \(\boldsymbol{E}\)) de tam olarak aynı Voigt kuralı uygulanır.

Dördüncü Mertebeden Bir Tensörün Matris Gösterimi

Gerilme ile gerinim arasındaki doğrusal ilişki \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) için (bileşen biçiminde \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), \(\boldsymbol{\varepsilon}\) simetrisi kullanıldığında

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

Üç boyutta \(\tilde{C}\), 6×6 malzeme matrisi \(\hat{\tilde{C}}\) olarak düzenlenirse özgün tensör bağıntısı şu şekilde ifade edilebilir:

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

Bu kılavuzun devamında, aksi belirtilmedikçe malzeme matrisi \(D\) (veya \(\hat{C}\)) ile gösterilir. İzotropik doğrusal elastisite için belirli bileşenler hakkında Doğrusal Elastisite bölümüne bakın.

Diferansiyel Operatör Kuralları

Simetrik Gradyan Operatörü

Bir \(\boldsymbol{u}\) vektör alanı için simetrik gradyan operatörü \(\nabla_S\) şu şekilde tanımlanır:

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

Bileşen biçiminde \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) olur. Sonsuz küçük deformasyon gerinimi \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) bu operatörle kompakt biçimde ifade edilebilir. Sonlu deformasyonda gradyanların hangi konfigürasyona (referans/mevcut) göre alındığı arasındaki ayrım Hareket, Deformasyon ve Gerinim bölümünde ele alınmaktadır.

Maddesel Zaman Türevi

Bir \(A\) niceliğinin maddesel zaman türevi (aynı malzeme noktasını izleyen zaman türevi), üst simge nokta \(\dot{A}\) ile gösterilir:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Hız ve ivme bu kuralı izler.

İlgili Konular