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टेन्सर संकेतन और गणितीय आधार

यह अध्याय FrontISTR सिद्धांत मैनुअल के बाद के अध्यायों में प्रयुक्त टेन्सर संकेतन, सूचकांक संकेतन और Voigt संकेतन की परंपराओं को एकत्र करता है। यहाँ केवल वे शुद्ध संकेतन नियम दिए गए हैं जो भौतिक राशियों की परिभाषाओं पर निर्भर नहीं हैं। सतत माध्यम की गति से जुड़े विन्यास (संदर्भ/वर्तमान विन्यास) पर निर्भर संकेतन परंपराएँ, जैसे बड़े और छोटे अक्षरों का भेद तथा पदार्थ और स्थानिक अवकलजों का भेद, गति, विरूपण और विकृति में दी गई हैं, जहाँ विन्यास की अवधारणा प्रस्तुत होती है।

टेन्सर संकेतन

मोटे अक्षर में सदिश और टेन्सर संकेतन

मुद्रण परंपरा के रूप में अदिश राशियाँ और सदिशों तथा टेन्सरों के अवयव सामान्य अक्षर में लिखे जाते हैं (जैसे \(\rho\) और \(x_i\)), जबकि सदिश और टेन्सर राशियाँ स्वयं मोटे अक्षर में लिखी जाती हैं (जैसे \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) और \(\boldsymbol{\sigma}\))।

Einstein योग परंपरा

अन्यथा उल्लेख न हो तो Einstein योग परंपरा उपयोग की जाती है: एक ही पद में समान सूचकांक दो बार आने पर उस सूचकांक पर योग किया जाता है। उदाहरण के लिए,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

और टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) तथा \(\boldsymbol{B}\) के गुणनफल \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) का \(i,j\) अवयव है

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

सूचकांक परंपरा के रूप में, जब \(i, j, k, l, \ldots\) बिना अतिरिक्त योग्यता के सूचकांक के रूप में उपयोग हों तो वे स्वतंत्रता-कोटियों से संबंधित सूचकांक दर्शाते हैं (त्रिविम में \(1, 2, 3\)), जबकि छोटे यूनानी अक्षर \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) सूचकांक के रूप में तत्त्व बनाने वाले नोडों से संबंधित सूचकांक दर्शाते हैं।

आंतरिक गुणनफल, ट्रांसपोज़ और टेन्सर गुणनफल

टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) के ट्रांसपोज़ को \(\boldsymbol{A}^T\) से निरूपित किया जाता है। द्वितीय-क्रम टेन्सर \(\boldsymbol{A}\) और \(\boldsymbol{B}\) का आंतरिक गुणनफल (double contraction) इस प्रकार लिखा जाता है

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

सदिश \(\boldsymbol{a}\) और \(\boldsymbol{b}\) का आंतरिक गुणनफल \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) है, और उनका टेन्सर गुणनफल \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) है।

Voigt संकेतन

प्रतिबल और विकृति स्वतंत्रता-कोटियों के सापेक्ष सममित द्वितीय-क्रम टेन्सर हैं, और उनके बीच रैखिक संबंध दर्शाने वाले गुणांक चतुर्थ-क्रम टेन्सर बनाते हैं। इन्हें सीधे प्रोग्राम में संभालना गणनात्मक लागत और कोडिंग (बहुआयामी ऐरे और गहरे nested loops) की दृष्टि से प्रतिकूल है। इसलिए सामान्य परिमित तत्त्व प्रोग्राम सममिति का लाभ उठाकर प्रतिबल और विकृति को स्तंभ सदिशों में और चतुर्थ-क्रम प्रत्यास्थता टेन्सर को द्विविमीय मैट्रिक्स में संकुचित करते हैं। इसे Voigt संकेतन कहा जाता है।

आगे, टेन्सर राशि \(\boldsymbol{A}\) के मैट्रिक्स या सदिश प्रतिनिधित्व को मूल टेन्सर से अलग करने के लिए \(\hat{A}\) से निरूपित किया जाता है।

प्रतिबल और विकृति का सदिश प्रतिनिधित्व

सममित प्रतिबल टेन्सर \(\boldsymbol{\sigma}\) और विकृति टेन्सर \(\boldsymbol{\varepsilon}\) के लिए, द्विविम में,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

और त्रिविम में,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

उन्हें ऊपर दिखाए अनुसार स्तंभ सदिशों के रूप में संभाला जाता है। यही नियम variations और differentials जैसी व्युत्पन्न राशियों पर भी लागू होता है। ध्यान दें कि विकृति पक्ष के shear अवयवों में 2 का गुणक होता है (प्रतिबल पक्ष में नहीं)। इस असममिति के कारण टेन्सर आंतरिक गुणनफल को सदिश आंतरिक गुणनफल के रूप में संक्षेप में लिखा जा सकता है

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

कार्यान्वयन में shear विकृति अवयवों पर 2 के गुणक को गलत संभालना आसान है, इसलिए "प्रतिबल में अनुपस्थित / विकृति में उपस्थित" परंपरा को हमेशा ध्यान में रखना चाहिए। यही Voigt परंपरा संदर्भ विन्यास की राशियों (second Piola-Kirchhoff प्रतिबल \(\boldsymbol{S}\) और Green-Lagrange विकृति \(\boldsymbol{E}\)) पर भी ठीक इसी प्रकार लागू होती है।

चतुर्थ-क्रम टेन्सर का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

प्रतिबल और विकृति के रैखिक संबंध \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (अवयव रूप में, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) के लिए, \(\boldsymbol{\varepsilon}\) की सममिति का उपयोग करने पर मिलता है

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

त्रिविम में \(\tilde{C}\) को 6×6 सामग्री मैट्रिक्स \(\hat{\tilde{C}}\) के रूप में व्यवस्थित करने पर मूल टेन्सर संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

इस मैनुअल में आगे, अन्यथा उल्लेख न हो तो सामग्री मैट्रिक्स को \(D\) (या \(\hat{C}\)) से निरूपित किया जाता है। समदैशिक रैखिक प्रत्यास्थता के विशिष्ट अवयवों के लिए रैखिक प्रत्यास्थता देखें।

अवकल ऑपरेटर परंपराएँ

सममित ग्रेडिएंट ऑपरेटर

सदिश क्षेत्र \(\boldsymbol{u}\) के लिए सममित ग्रेडिएंट ऑपरेटर \(\nabla_S\) को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

अवयव रूप में \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\)। लघु-विरूपण विकृति \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) को इस ऑपरेटर से संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। परिमित विरूपण में जिन विन्यासों (संदर्भ/वर्तमान) के सापेक्ष ग्रेडिएंट लिए जाते हैं, उनका भेद गति, विरूपण और विकृति में दिया गया है।

पदार्थ समय अवकलज

किसी राशि \(A\) का पदार्थ समय अवकलज (उसी पदार्थ बिंदु का अनुसरण करते हुए समय अवकलज) ऊपर बिंदु से, \(\dot{A}\), निरूपित किया जाता है:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

वेग और त्वरण इसी परंपरा का अनुसरण करते हैं।

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