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बाह्य बलों का आभासी कार्य और समग्र समीकरणों की असेंबली

आंतरिक बलों के आभासी कार्य का विविक्तीकरण में दुर्बल रूप के बाएँ पक्ष को तत्त्व आंतरिक-बल सदिश \(\boldsymbol{q}^e\) (UL विधि) या \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL विधि) में समेटा गया था। इस अध्याय में बाह्य बलों के आभासी कार्य से तत्त्व नोडल बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}^e\) प्रस्तुत किया जाता है, फिर तत्त्व नोडल भौतिक राशियों को समग्र नोड संख्या के अनुसार पुनःक्रमित और संचित करने वाली असेंबली प्रक्रिया लागू करके अंततः नोडल विस्थापनों के संबंध में वह अरेखीय समीकरण-तंत्र प्राप्त किया जाता है जिसे FrontISTR का अरेखीय संरचनात्मक विश्लेषण हल करता है।

बाह्य बलों के आभासी कार्य का तत्त्व-विभाजन

आभासी कार्य का सिद्धांत का दायाँ पक्ष पिंड बलों और यांत्रिक सीमा पर निर्धारित सतही कर्षणों से बने बाह्य बलों के आभासी कार्य के रूप में तत्त्व-दर-तत्त्व विभाजित किया जा सकता है। आकार फलन और परिमित तत्त्व सन्निकटन में प्रस्तुत विस्थापन इंटरपोलेशन को मैट्रिक्स रूप में लिखने के लिए, नोड \(\alpha\) के आकार फलन \(N_\alpha^e\) को विकर्ण पर रखने वाला \(d \times d\) ब्लॉक \(\boldsymbol{N}_\alpha\) और उन्हें क्षैतिज रूप से जोड़कर \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) परिभाषित करें, जिससे \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) हो। इसे संदर्भ विन्यास में लिखे बाह्य आभासी कार्य में प्रतिस्थापित करने पर मिलता है

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

यहाँ तत्त्व नोडल बाह्य-बल सदिश को \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) के रूप में व्यवस्थित किया गया है। इससे बाह्य बलों का आभासी कार्य आंतरिक-बल पक्ष के समान "तत्त्व नोडल सदिश × परीक्षण फलन" रूप में समेटा जाता है (वर्तमान विन्यास में लिखने पर \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), और \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\) प्रतिस्थापन से वही रूप मिलता है)।

तत्त्व नोडल भौतिक राशियों की असेंबली

प्रत्येक तत्त्व के लिए प्राप्त नोडल भौतिक राशियों \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) को समग्र नोड संख्या के अनुसार क्रमित समग्र सदिशों में संचित किया जाता है। तत्त्व \(\Omega^e\) के स्थानीय नोड संख्या \(\alpha\) के अनुरूप समग्र नोड संख्या को

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

से निरूपित करें। तब तत्त्व नोडल राशि समग्र नोडल राशि के संबंधित अवयव के समान होती है (जैसे \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\))। सामान्यतः नोड \(i_g\) कई तत्त्वों द्वारा साझा किया जाता है, इसलिए उन \((e, \alpha)\) जोड़ियों का समुच्चय जिनकी समग्र नोड संख्या \(i_g\) है, इस प्रकार परिभाषित करें

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

इस समुच्चय का उपयोग करके योग को \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\) रूप में पुनर्लिखने पर सभी \(n_g\) नोडों के लिए नोडल आंतरिक बल और समग्र आंतरिक-बल सदिश प्राप्त होते हैं:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

यहाँ \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) नोड \(i_g\) पर कार्य करने वाले तत्त्व नोडल आंतरिक बलों का परिणामी बल है और यदि कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता तथा संतुलन संतुष्ट है तो यह \(\boldsymbol{0}\) होता है। UL विधि में भी यही प्रक्रिया \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) देती है; क्योंकि संख्यात्मक रूप से \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\) है, इसलिए आगे जहाँ भेद आवश्यक न हो वहाँ \(\boldsymbol{Q}\) संकेतन ही उपयोग किया जाता है। समग्र बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}\) भी इसी संचयन से प्राप्त होता है।

कार्यान्वयन में समुच्चय \(\mathcal{E}(i_g)\) को स्पष्ट रूप से निर्मित नहीं किया जाता; इसके बजाय तत्त्व लूप के भीतर संबंधित अवयवों में योगदान जोड़े जाते हैं।

समग्र आंतरिक-बल सदिश Q को 0 से प्रारंभ करें: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (तत्त्वों की संख्या)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

समग्र बाह्य-बल सदिश \(\boldsymbol{F}\) भी इसी प्रक्रिया से बनाया जाता है। समग्र नोड संख्या से क्रमांकित सदिशों और मैट्रिक्सों में तत्त्व नोडल राशियों को जोड़कर संग्रहित करने की इस क्रिया को असेंबली कहा जाता है। दो नोड संख्याओं से संबद्ध द्वितीय-क्रम टेन्सरों (जैसे दृढ़ता मैट्रिक्स) के लिए समुच्चय \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{और}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) का उपयोग करके इसी प्रकार की असेंबली मिलती है (विशिष्ट निर्माण के लिए स्पर्शरेखीय दृढ़ता मैट्रिक्स देखें)।

हल किए जाने वाले अरेखीय समीकरण

असेंबल किए गए आंतरिक और बाह्य बलों को आभासी कार्य का सिद्धांत में प्रतिस्थापित करने और इस तथ्य का उपयोग करने पर कि यह ज्यामितीय सीमा शर्तों को संतुष्ट करने वाले किसी भी परीक्षण फलन \(\delta\boldsymbol{u}^n\) के लिए सत्य है, मिलता है

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

वृद्धिशील विश्लेषण (वृद्धिशील विश्लेषण की रूपरेखा) के संदर्भ में समय उपसूचक \(_{n+1}\) पुनर्स्थापित करें और समग्र नोडल सदिश दर्शाने वाला ऊपरी सूचक \(^n\) हटा दें। तब हल किया जाने वाला समीकरण है

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

इस प्रकार समय \(t_{n+1}\) पर नोडल विस्थापन \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) खोजने की विविक्त सीमा-मूल्य समस्या ज्यामितीय सीमा शर्तों के साथ विस्थापन में इस अरेखीय समीकरण को हल करने तक घट जाती है। समीकरण के रैखिकीकरण और स्पर्शरेखीय दृढ़ता मैट्रिक्स के निर्माण का वर्णन स्पर्शरेखीय दृढ़ता मैट्रिक्स में और पुनरावृत्त समाधान विधि का वर्णन Newton-Raphson विधि में है।

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