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Creep

यह अध्याय FrontISTR द्वारा अपनाए गए creep constitutive law का वर्णन करता है। चयन और input specification के विवरण के लिए functions section 03_material देखें।

Creep घटना और Additive Strain Decomposition

स्थिर stress की स्थिति में समय-निर्भर displacement को "creep" कहा जाता है।

ऊपर वर्णित viscoelastic behavior को linear creep phenomenon का एक प्रकार भी माना जा सकता है। यहाँ कई nonlinear creep behaviors का वर्णन किया गया है। सामान्य तरीका यह है कि इस behavior को तुरंत उत्पन्न होने वाली strain में जोड़कर constitutive relation बनाया जाए, और किसी दिए गए स्थिर load के जारी रहने के दौरान संचित strain को creep strain \(\varepsilon^c\) के रूप में परिभाषित किया जाए। Creep सहित constitutive relation सामान्यतः creep strain rate \(\dot{\varepsilon}^c\) से व्यक्त होता है, जिसे stress और कुल creep strain का function माना जाता है।

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

यदि तुरंत उत्पन्न होने वाली strain elastic strain \(\varepsilon^e\) है, तो total strain को creep strain सहित निम्न योग से व्यक्त किया जाता है।

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

जहाँ

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) elasticity tensor है)।

Norton Law

विशिष्ट creep constitutive law के रूप में FrontISTR निम्न Norton model अपनाता है। इस constitutive law में equivalent creep strain rate \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) को von Mises stress \(q\) और समय \(t\) के function के रूप में निम्न प्रकार व्यक्त किया जाता है।

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

यहाँ \(A\), \(m\) और \(n\) material constants हैं।

Time Integration और Stress Update

Plastic materials की तरह, creep दिखाने वाले constitutive law के लिए numerical time-integration method निर्दिष्ट करना आवश्यक है। Creep को ध्यान में रखने पर constitutive relation है

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

जहाँ \(\beta_{n+\theta}\) है

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

तब creep strain increment \(\Delta \varepsilon^c\) को निम्न simplified nonlinear equation द्वारा परिभाषित किया जाता है:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

जिसे शून्य रखा जाता है।

Newton-Raphson iteration में \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) को initial stress मानते हुए और finite element method से प्राप्त strain increment का उपयोग करते हुए, iterative solution और increment निम्न हैं

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

जहाँ

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

और residual \(R\) के \(\mathbf{0}\) होने तक iteration करने पर stress \(\sigma_{n+1}\) और tangent modulus

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

का उपयोग किया जाता है।

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