Lewati ke isi

Kerja Virtual Gaya Eksternal dan Perakitan Persamaan Global

Dalam Diskretisasi Kerja Virtual Gaya Internal, ruas kiri bentuk lemah telah direduksi menjadi vektor gaya internal elemen \(\boldsymbol{q}^e\) (metode UL) atau \(\boldsymbol{Q}^e\) (metode TL). Bab ini memperkenalkan vektor gaya eksternal nodal elemen \(\boldsymbol{F}^e\) dari kerja virtual gaya eksternal, kemudian menerapkan operasi assembly yang mengurutkan ulang dan mengakumulasikan besaran nodal elemen berdasarkan nomor node global, sehingga akhirnya diperoleh sistem persamaan nonlinear dalam perpindahan nodal yang diselesaikan oleh analisis struktur nonlinear FrontISTR.

Dekomposisi Elemen dari Kerja Virtual Gaya Eksternal

Ruas kanan Prinsip Kerja Virtual dapat didekomposisi elemen demi elemen menjadi kerja virtual gaya eksternal yang terdiri atas gaya benda dan traksi permukaan yang ditentukan pada batas mekanis. Untuk menuliskan interpolasi perpindahan yang diperkenalkan dalam Fungsi Bentuk dan Pendekatan Elemen Hingga dalam bentuk matriks, definisikan blok \(\alpha\) \(N_\alpha^e\) dengan fungsi bentuk \(d \times d\) dari node \(\boldsymbol{N}_\alpha\) pada diagonal, lalu bentuk \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), sehingga \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Dengan mensubstitusikan ini ke dalam kerja virtual gaya eksternal yang dituliskan pada konfigurasi referensi, diperoleh

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

di mana vektor gaya eksternal nodal elemen disusun sebagai \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Dengan demikian, kerja virtual gaya eksternal direduksi ke bentuk "vektor nodal elemen × fungsi uji" yang sama dengan sisi gaya internal (jika dituliskan pada konfigurasi saat ini, bentuk yang sama diperoleh dengan substitusi \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), dan \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Assembly Besaran Nodal Elemen

Besaran nodal \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) yang diperoleh untuk setiap elemen diakumulasikan ke dalam vektor global yang diurutkan menurut nomor node global. Misalkan nomor node global yang bersesuaian dengan nomor node lokal \(\Omega^e\) dari elemen \(\alpha\) adalah

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Maka suatu besaran nodal elemen identik dengan komponen yang bersesuaian dari besaran nodal global (misalnya, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Karena node \(i_g\) pada umumnya digunakan bersama oleh beberapa elemen, definisikan himpunan pasangan \(i_g\) yang nomor node globalnya adalah \((e, \alpha)\) sebagai

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Dengan menggunakan himpunan ini untuk menulis ulang penjumlahan sebagai \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), diperoleh gaya internal nodal dan vektor gaya internal global pada seluruh \(n_g\) node:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Di sini \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) adalah resultan gaya internal nodal elemen yang bekerja pada node \(i_g\) dan bernilai \(\boldsymbol{0}\) ketika tidak ada gaya eksternal yang bekerja dan keseimbangan terpenuhi. Prosedur yang sama pada metode UL menghasilkan \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); karena nilai numeriknya memenuhi \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), notasi \(\boldsymbol{Q}\) digunakan selanjutnya kecuali jika pembedaan diperlukan. Vektor gaya eksternal global \(\boldsymbol{F}\) diperoleh dengan akumulasi yang sama.

Dalam implementasi, himpunan \(\mathcal{E}(i_g)\) tidak dibentuk secara eksplisit; sebagai gantinya, kontribusi ditambahkan ke komponen yang bersesuaian di dalam loop elemen.

Inisialisasi vektor gaya internal global Q menjadi 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (jumlah elemen)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Vektor gaya eksternal global \(\boldsymbol{F}\) dibentuk dengan prosedur yang sama. Operasi penambahan dan penyimpanan besaran nodal elemen ke dalam vektor dan matriks yang dinomori berdasarkan nomor node global disebut assembly. Untuk tensor orde kedua yang terkait dengan dua nomor node (seperti matriks kekakuan), jenis assembly yang sama diperoleh menggunakan himpunan \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (lihat Matriks Kekakuan Tangen untuk konstruksi spesifiknya).

Persamaan Nonlinear yang Harus Diselesaikan

Dengan mensubstitusikan gaya internal dan eksternal yang telah dirakit ke dalam Prinsip Kerja Virtual, serta menggunakan fakta bahwa persamaan tersebut berlaku untuk sembarang fungsi uji \(\delta\boldsymbol{u}^n\) yang memenuhi kondisi batas geometrik, diperoleh

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Dalam konteks analisis inkremental (Kerangka Analisis Inkremental), kembalikan subskrip waktu \(_{n+1}\) dan hilangkan superskrip \(^n\) yang menyatakan vektor nodal global. Persamaan yang harus diselesaikan kemudian menjadi

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Dengan demikian, masalah nilai batas terdiskretisasi untuk mencari perpindahan nodal \(t_{n+1}\) pada waktu \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) direduksi menjadi penyelesaian persamaan nonlinear dalam perpindahan ini bersama dengan kondisi batas geometrik. Linearisasi persamaan dan pembentukan matriks kekakuan tangen dijelaskan dalam Matriks Kekakuan Tangen, sedangkan metode solusi iteratif dijelaskan dalam Metode Newton-Raphson.

Topik Terkait