Lewati ke isi

Prinsip Kerja Virtual

Berdasarkan persamaan kesetimbangan dan kondisi batas yang diturunkan dalam Tegangan dan Hukum Kekekalan, diturunkan prinsip kerja virtual, yaitu bentuk lemah dari masalah nilai batas mekanika kontinuum. Diskretisasi elemen hingga dimulai dari bentuk lemah ini. Bab ini menyajikan bentuk konfigurasi saat ini (dinyatakan menggunakan tegangan Cauchy dan bagian linear regangan Almansi) serta bentuk konfigurasi referensi (dinyatakan menggunakan tegangan Piola-Kirchhoff kedua dan regangan Green-Lagrange), menunjukkan ekuivalensinya, lalu mengonfirmasi reduksi ke deformasi kecil.

Persamaan Kesetimbangan dan Kondisi Batas

Misalkan \(\boldsymbol{g}\) adalah gaya benda yang bekerja pada kontinuum per satuan massa, dan pertimbangkan benda yang menempati domain \(\Omega\) pada konfigurasi saat ini. Batas \(\Gamma\) dibagi menjadi batas geometris tempat perpindahan ditentukan sebagai \(\bar{\boldsymbol{u}}\), yaitu \(\Gamma_B\), dan batas mekanis tempat traksi ditentukan sebagai \(\bar{\boldsymbol{t}}\), yaitu \(\Gamma_t\), dengan \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) dan \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Untuk masalah statik, persamaan kesetimbangan diperoleh dengan menghilangkan suku inersia dari hukum kekekalan momentum yang ditunjukkan dalam Tegangan dan Hukum Kekekalan:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{di} \ \Omega \]

Kondisi batasnya adalah

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{pada} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{pada} \ \Gamma_B \]

Selanjutnya, prinsip kerja virtual diturunkan sebagai bentuk lemah dari persamaan kesetimbangan dan kondisi batas mekanis \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Kondisi batas geometris \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) dimasukkan melalui pemilihan fungsi uji.

Bentuk Lemah pada Konfigurasi Saat Ini

Dalam bentuk lemah, ruang admissible untuk perpindahan yang tidak diketahui dan ruang fungsi uji masing-masing didefinisikan sebagai

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

Di sini, \(d\) adalah dimensi ruang, \(H^1(\Omega)\) adalah ruang Sobolev dari fungsi yang kuadratnya dapat diintegralkan bersama turunan lemah pertamanya, dan \(\delta\) menyatakan variasi. Dalam representasi konfigurasi saat ini, \(\Omega\) adalah konfigurasi terdeformasi; dalam penyelesaian numerik aktual, konfigurasi ini dipetakan kembali ke konfigurasi referensi atau konfigurasi antara yang diketahui.

Dengan mengalikan persamaan kesetimbangan dengan bobot \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) serta menerapkan teorema divergensi Gauss dan kondisi batas mekanis, diperoleh prinsip kerja virtual berikut pada konfigurasi saat ini.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Di sini, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) adalah bagian linear dari tensor regangan Almansi, yang didefinisikan oleh

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Variasinya adalah \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Dengan demikian, dicari \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) sehingga persamaan kerja virtual terpenuhi untuk setiap \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Ruas kiri adalah kerja virtual gaya internal, sedangkan ruas kanan adalah kerja virtual gaya eksternal akibat traksi yang ditentukan dan gaya benda.

Karena persamaan ini ditulis pada domain terdeformasi (konfigurasi saat ini), prosedur penyelesaian aktual memilih kembali konfigurasi awal \(\Omega_0\) (konfigurasi referensi) atau konfigurasi antara yang diketahui sebagai konfigurasi referensi, menulis ulang persamaan dalam bentuk inkremental, lalu menyelesaikannya. Lihat Kerangka Analisis Inkremental untuk pemilihan konfigurasi referensi secara spesifik (Total Lagrange / Updated Lagrange) dan dekomposisi inkremental.

Bentuk Lemah pada Konfigurasi Awal

Pertimbangkan benda yang menempati domain \(\Omega_0\) pada konfigurasi referensi, dengan batas \(\Gamma_0\) dibagi menjadi \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Pemetaan kembali representasi konfigurasi saat ini ke konfigurasi referensi menghasilkan pasangan konjugat tegangan-regangan berupa tegangan Piola-Kirchhoff kedua \(\boldsymbol{S}\) dan regangan Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Prinsip kerja virtual pada konfigurasi awal kemudian menjadi

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Di sini, \(\rho_0\) adalah densitas massa pada konfigurasi referensi, dan berdasarkan hubungan kekekalan massa \(\rho_0 = J\rho\), bentuk ini ekuivalen dengan representasi gaya benda pada konfigurasi saat ini.

Ekuivalensi Representasi Konfigurasi Saat Ini dan Konfigurasi Awal

Kerja virtual gaya internal pada kedua representasi berimpit melalui transformasi oleh gradien deformasi \(\boldsymbol{F}\) dan rasio volume \(J = \det \boldsymbol{F}\); yaitu,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Suku gaya eksternal juga ekuivalen berdasarkan kekekalan massa dan transformasi traksi. Oleh karena itu, persamaan kerja virtual pada konfigurasi saat ini dan pada konfigurasi awal menyatakan prinsip yang sama dalam konfigurasi berbeda. Metode penyelesaian yang mengacu pada konfigurasi referensi bersesuaian dengan metode Total Lagrange, sedangkan metode penyelesaian yang mengacu pada konfigurasi saat ini (konfigurasi terkonvergensi tepat sebelumnya) bersesuaian dengan metode Updated Lagrange.

Reduksi ke Deformasi Kecil

Dengan asumsi deformasi kecil \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) dan \(J \approx 1\), perbedaan antara konfigurasi saat ini dan konfigurasi referensi menghilang, tegangan PK kedua berimpit dengan tegangan Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), dan baik regangan Green-Lagrange maupun bagian linear regangan Almansi tereduksi menjadi regangan infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Prinsip kerja virtual kemudian tereduksi menjadi bentuk lemah yang dinyatakan dengan tegangan Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dan regangan infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{pada} \ \Gamma_B \]

Ini adalah bentuk lemah yang digunakan langsung untuk diskretisasi pada analisis statik elastik-linear deformasi kecil (Analisis Statik Elastik Linear (Pendahuluan dan Lampiran) dimulai dari bentuk ini dan menunjukkan pembentukan kekakuan elemen \(\boldsymbol{K}^e\) melalui perakitan persamaan global \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Dengan mensubstitusikan hukum konstitutif elastik-linear \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) dan menuliskan \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) dalam notasi Voigt, bentuk lemah menjadi

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

yang memiliki bentuk ini.

Topik Terkait