Przejdź do treści

Analiza odpowiedzi częstotliwościowej

Sformułowanie problemu

Analiza odpowiedzi częstotliwościowej ocenia w dziedzinie częstotliwości amplitudę i fazę odpowiedzi ustalonej układu, gdy siła zewnętrzna zmienia się harmonicznie w czasie. Ponieważ równanie ruchu jest traktowane inaczej w przypadku z tłumieniem i bez tłumienia, w tym rozdziale najpierw wyprowadza się postacie własne z nietłumionych drgań swobodnych, a następnie wykorzystuje je jako bazę modalną do rozwinięcia tłumionej odpowiedzi harmonicznej.

Nietłumione drgania swobodne i postacie własne

Po pominięciu tłumienia równanie ruchu ma postać

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Po rozwinięciu przemieszczenia według poszczególnych postaci własnych otrzymuje się

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Podstawienie tego do równania \(\eqref{eq:2.6.1}\) daje

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Jest to uogólnione zagadnienie własne. Numeryczne metody jego rozwiązania, w tym iteracja odwrotna z przesunięciem i metoda Lanczosa, omówiono w Analizie modalnej. W tej sekcji podsumowano właściwości otrzymanych częstości własnych i postaci własnych wykorzystywane w dalszym rozwinięciu odpowiedzi harmonicznej.

Rzeczywistość częstości własnych

Można wykazać, że częstość własna jest rzeczywista, w następujący sposób. Niech \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Sprzężenie zespolone równania \(\eqref{eq:2.6.3}\) daje równanie \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Po pomnożeniu przez \(\overline{U}_J^T\) otrzymuje się

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

Z równania \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Ponieważ macierz masy jest symetryczna dodatnio określona, dla niezerowego wektora własnego mamy

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Zatem

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

W konsekwencji \(\omega_j^2 = \lambda_j\) jest rzeczywiste.

Ortogonalność i normalizacja postaci własnych

Rozważmy dwie różne postacie.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Wynika stąd, że

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

a gdy wartości własne są różne,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Zatem różne postacie własne są ortogonalne względem macierzy masy. Dla tej samej postaci normalizacja względem macierzy masy zgodnie z równaniem \(\eqref{eq:2.6.12}\) upraszcza dalsze rozważania.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Odpowiedź harmoniczna z tłumieniem

Następnie przedstawiono sformułowanie analizy odpowiedzi częstotliwościowej z tłumieniem. Równanie ruchu jest dane równaniem \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Zakłada się tłumienie typu Rayleigha, wyrażone równaniem \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Korzystając z wektorów własnych otrzymanych z analizy modalnej, wektor przemieszczenia w chwili t można rozwinąć zgodnie z równaniem \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Załóżmy, że człon siły zewnętrznej ma postać harmoniczną

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Następnie wyznaczamy \(b_{j}(t)\). Ponieważ równanie ruchu \(\eqref{eq:2.6.13}\) ma postać drgań wymuszonych,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

zachodzi. Część rzeczywista i urojona współczynnika rozwinięcia \(b_{j}(t)\) są dane odpowiednio równaniami \(\eqref{eq:2.6.18}i\) i \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Otrzymujemy w ten sposób poszukiwane współczynniki odpowiedzi harmonicznej.

Powiązane tematy