模態分析¶

廣義特徵值問題¶

對連續體進行自由振動分析時，先進行空間離散化，並以圖2.3.1所示的集中質點多自由度系統進行建模。對於無阻尼自由振動問題，其支配方程式（運動方程式）如下。

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

其中，$u$ 為廣義位移向量，$M$ 為質量矩陣，$K$ 為剛度矩陣。令固有角頻率為$\omega$，$a$、$b$、$c$ 為任意常數，$x$ 為向量，並定義函數

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

則此式的二階導數為

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

將這些式子代入式$\eqref{eq:2.3.1}$，得到

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

亦即

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

可得。

也就是說，若能找到滿足方程式$\eqref{eq:2.3.5}$的係數$\lambda = \omega^2$ 以及向量$x$，則函數$u(t)$即為方程式$\eqref{eq:2.3.1}$的解。

係數$\lambda$稱為特徵值，向量$x$稱為特徵向量，而由式$\eqref{eq:2.3.1}$求得這些量的問題稱為廣義特徵值問題。

無阻尼自由振動多自由度系統的範例

圖 2.3.1　無阻尼自由振動多自由度系統的範例

矩陣的性質與假設¶

對前節得到的廣義特徵值問題 $K x = \lambda M x$，本手冊假設矩陣具有以下性質。這些假設是後續位移反迭代法與 Lanczos 法之收斂性及適用範圍的前提。亦即，對複數矩陣而言，轉置矩陣為其共軛複數；對實數矩陣而言則為對稱矩陣。具體而言，若矩陣$K$的$ij$分量為$k_{ij}$，並令$k$的共軛複數為$\bar{k}$，則

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

具有上述關係。

本手冊假設矩陣為對稱正定矩陣。正定表示所有特徵值皆為正；換言之，矩陣始終滿足下式$\eqref{eq:2.3.7}$。

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

位移反迭代法¶

在使用有限元素法的結構分析中，實務上通常不需要所有特徵值，很多情況下只需少數幾個低階特徵值即可。另一方面，HEC-MW 以處理大規模問題為前提，因此矩陣尺寸很大且非常稀疏（零元素很多）。因此，考慮到此特性，有效率地求得低階模態的特徵值十分重要。

令特徵值的下限為$\sigma$時，可將式$\eqref{eq:2.3.5}$變形為下式（數學上等價）。

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

此時，計算上具有下列有利性質。

模態順序被反轉。
$\rho$附近的特徵值被映射為最大值。

實際計算中，最大特徵值往往會先求得。因此，主要的收斂計算不是套用於式$\eqref{eq:2.3.5}$，而是套用於式$\eqref{eq:2.3.8}$，以優先求得$\rho$附近的特徵值。此方法稱為位移反迭代法。

Lanczos 法¶

採用理由（與 Jacobi 法比較）¶

在古典方法中，Jacobi 法廣為人知。

此方法在矩陣尺寸較小且為稠密矩陣時有效。然而，HEC-MW 所處理的矩陣規模大且稀疏，因此不採用此方法，而採用 Lanczos 反覆求解法。

演算法與特性¶

此方法由 C. Lanczos 於1950年代提出，是將矩陣三對角化的計算演算法，具有以下特性。

屬於反覆收斂求解法，可在保持矩陣稀疏的情況下進行計算。
演算法主要由矩陣－向量乘積構成，適合平行化。
適合伴隨有限元素網格的幾何領域分割法。
可限制欲求得的特徵值數量與模態範圍，以進行高效率計算。

Lanczos 法從初始向量開始，依序建立正交向量並求得子空間的基底。據稱此方法比另一種反覆求解法——子空間法更快，並廣泛用於有限元素法程式。然而，此方法容易受到計算機誤差影響，向量的正交性可能喪失，因而無法避免計算途中失效的風險。因此，針對誤差採取對策不可或缺。

幾何意義（Krylov 子空間）¶

對式$\eqref{eq:2.3.8}$進行如下變數變換

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

則問題可改寫為

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

可得。

對適當的向量 $q_0$，施加矩陣$A$所表示的線性變換（參照圖2.3.2）。

$矩陣$A$對$q_0$的線性變換$

圖 2.3.2　矩陣$A$對$q_0$的線性變換

變換後的向量在其與原向量所張成的空間內進行正交化。亦即，進行如圖2.3.2所示的 Gram-Schmidt 正交化。將由此得到的向量記為$r_1$，再將其正規化（長度為1）以得到$q_1$（圖2.3.3）。以相同演算法由$q_1$得到$q_2$。此時$q_2$同時與$q_1$、$q_0$正交（圖2.3.4）。持續進行相同計算，即可求得彼此正交的向量，最多至矩陣的階數。

$與$q_0$正交的向量$q_1$$

圖 2.3.3　與$q_0$正交的向量$q_1$

$與$q_1$及$q_0$正交的向量$q_2$$

圖 2.3.4　與$q_1$及$q_0$正交的向量$q_2$

特別是，Lanczos 法的演算法是針對向量序列 $A q_0$、$A q_1$、$A q_2$

換言之，即 $A q_0$、$A^2 q_0$、$A^3 q_0$、,$A^n q_0$

進行 Gram-Schmidt 正交化。此向量序列稱為 Krylov 序列，其所張成的空間稱為 Krylov 子空間。在此空間中進行 Gram-Schmidt 正交化時，可利用最近的兩個向量求得新的向量。這稱為 Lanczos 原理。

三對角化¶

在上述反覆過程中，第i+1個向量的計算可表示為

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

其中

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

將其以矩陣形式表示，可得

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

其中

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

因此，對由式$\eqref{eq:2.3.13}$得到的三對角矩陣求解特徵值問題，即可得到特徵值。