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Analyse de contact

Lorsque deux corps entrent en contact, une force de contact \(t_c\) est transmise par l’intermédiaire de la surface de contact. Le principe des travaux virtuels s’écrit alors comme suit.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}v}\,^{t'} \sigma : \delta^{t'} A_{(L)} d^{t'}v = \int^{t'}_{^{t'}S_{t}}\,^{t'} \overline{t} \cdot \delta u d^{t'}s+ \int^{t'}_{V} \overline{b} \cdot \delta u d^{t'}v + \int^{t'}_{^{t'} S _{c}}t_{c}[\delta u^{(1)} - u^{(2)}] \label{eq:2.2.70} \end{equation}\]

Ici, \(S_c\) représente l’aire de contact, tandis que \(u^{(1)}\) et \(u^{(2)}\) représentent respectivement les déplacements des corps en contact 1 et 2.

Dans une analyse de contact, les surfaces susceptibles d’entrer en contact sont spécifiées par paires. Une des surfaces de la paire est définie comme surface maître et l’autre comme surface esclave. Dans cette méthode d’analyse maître-esclave, les conditions de contrainte de contact sont supposées comme suit.

  1. Un nœud esclave ne pénètre pas la surface maître.
  2. Lorsqu’un contact se produit, le nœud esclave se situe à la position de contact et, par l’intermédiaire de ce point de contact, la surface maître et la surface esclave se transmettent mutuellement la force de contact et la force de frottement.

La discrétisation par éléments finis du dernier terme de l’équation \(\eqref{eq:2.2.70}\) donne l’équation suivante.

\[\begin{equation} \int^{t'}_{^{t'}S_{c}} t_c [\delta u^{(1)} - \delta u^{(2)}] \approx \delta UK_c \Delta U + \delta UF_c \label{eq:2.2.71} \end{equation}\]

Ici, \(K_c\) et \(F_c\) représentent respectivement la matrice de rigidité de contact et la force de contact. Les formulations par éléments finis des méthodes de Lagrange totale et de Lagrange actualisée tenant compte des contraintes de contact sont données ci-dessous.

\[\begin{equation} \delta U^T ( ^t_0 K_L + ^t_0 K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_0^{t'} F} - \partial U^T {^t_0 Q} + \delta UF_c \label{eq:2.2.72} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta U^T (^t_t K_L + ^t_t K_{NL} + K_c ) \Delta U = \delta U^T {_{t} ^{t'} F} - \partial U^T {^t_t Q}+ \delta UF_c \label{eq:2.2.73} \end{equation}\]

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