Trình bày rời rạc hóa theo thời gian và phương pháp lặp cho phân tích dẫn nhiệt trong vật rắn bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method). Về phương trình chi phối và điều kiện biên trong môi trường liên tục, xem Phương trình dẫn nhiệt.
\[\begin{equation}
K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F
\label{eq:2.4.8}
\end{equation}\]
trong đó
\[\begin{equation}
K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x}
+ k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y}
+ k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV
+ \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds
\label{eq:2.4.9}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
M = \int \rho c N^T N dV
\label{eq:2.4.10}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS
+ \int{hc} T c N^T dS
+ \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS
\label{eq:2.4.11}
\end{equation}\]
\[\begin{equation}
N = (N^1, N^2, \ldots, Ni)
\label{eq:2.4.12}
\end{equation}\]
Ở đây, \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) lần lượt là ma trận dẫn nhiệt (bao gồm các hạng đối lưu và bức xạ do biên đóng góp), ma trận khối lượng, vectơ tải nhiệt và ma trận hàm dạng. Định nghĩa các ký hiệu tính chất vật liệu (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), v.v.) theo Phương trình dẫn nhiệt.
Phương trình \(\eqref{eq:2.4.8}\) là phương trình phi tuyến và không ổn định.
Rời rạc hóa theo thời gian bằng phương pháp Euler lùi. Khi nhiệt độ tại thời điểm \(t=t_0\) đã biết, nhiệt độ tại \(t=t_0+\Delta t\) được tính bằng phương trình sau.
Xét vectơ nhiệt độ \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) thỏa xấp xỉ phương trình \(\eqref{eq:2.4.13}\),
và cải thiện nó để tìm nghiệm chính xác hơn \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).
Thay các phương trình \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) và \(\eqref{eq:2.4.16}\) vào phương trình \(\eqref{eq:2.4.13}\), rồi bỏ các hạng bậc hai trở lên, ta được
Trong phân tích không ổn định, do rời rạc hóa theo thời gian sử dụng phương pháp ẩn, độ lớn của gia số thời gian \(\Delta t\) nói chung không bị ràng buộc bởi điều kiện ổn định. Tuy nhiên, nếu gia số thời gian \(\Delta t\) quá lớn thì số lần lặp cần để hội tụ sẽ tăng.
Nói chung, gia số thời gian \(\Delta t\) quá lớn sẽ làm tăng số lần lặp. Trong triển khai, điều khiển gia số tự động theo dõi độ lớn của vectơ phần dư: giảm \(\Delta t\) khi hội tụ chậm và tăng \(\Delta t\) khi số lần lặp ít (→ xem chi tiết trong Điều khiển bước).