Đạo hàm không gian của hàm dạng¶
Các hàm dạng \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) được giới thiệu trong Hàm dạng và xấp xỉ phần tử hữu hạn được cho dưới dạng hàm của tọa độ tự nhiên \(\boldsymbol{r}\), tức tọa độ cục bộ của phần tử. Trong khi đó, thông qua quan hệ biến dạng–chuyển vị, các hàm dưới dấu tích phân trong dạng yếu chứa các đạo hàm riêng theo tọa độ vật lý (cấu hình tham chiếu \(\boldsymbol{X}\) hoặc cấu hình hiện tại \(\boldsymbol{x}\)), tức \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) hoặc \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Chương này hệ thống hóa quy trình tính các đạo hàm không gian của hàm dạng đó từ tọa độ nút phần tử và đạo hàm theo tọa độ tự nhiên.
Biểu diễn đạo hàm không gian bằng quy tắc dây chuyền¶
Áp dụng quy tắc dây chuyền cho công thức nội suy \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (chương trước), và dùng ma trận Jacobian \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) của phép ánh xạ từ tọa độ tự nhiên sang tọa độ vật lý, ta thu được
Ở đây, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) và \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) là các ma trận \(n_e \times 3\) trong đó hàng \(\alpha\) biểu diễn vectơ đạo hàm riêng tại nút \(\alpha\).
Xây dựng ma trận Jacobian¶
Lấy đạo hàm riêng công thức nội suy theo \(\boldsymbol{r}\), ta có
Do đó, ma trận Jacobian có thể được xây dựng trực tiếp từ tọa độ nút phần tử \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) và đạo hàm theo tọa độ tự nhiên \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Đạo hàm theo tọa độ tự nhiên được xác định từ dạng hàm của hàm dạng và được cài đặt sẵn cho từng loại phần tử.
Định thức của ma trận Jacobian \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) được dùng trong tích phân số để biến đổi phần tử thể tích theo \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Nếu định thức bằng \(0\), phần tử bị suy biến và phép tính không thể tiếp tục.
Quy trình tính toán¶
Từ phần suy dẫn trên, việc tính đạo hàm không gian \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) có thể chia thành bốn bước sau.
- Tính đạo hàm theo tọa độ tự nhiên: Dùng loại phần tử và tọa độ tự nhiên \(\boldsymbol{r}\) của điểm đánh giá làm đầu vào để tính ma trận đạo hàm theo tọa độ tự nhiên \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Vì dạng hàm của hàm dạng khác nhau theo loại phần tử, xử lý được phân nhánh theo loại phần tử.
- Tính ma trận Jacobian: Từ tọa độ nút phần tử \(\boldsymbol{X}^e\) và \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), lắp ma trận Jacobian \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) theo công thức ở phần trước.
- Tính ma trận nghịch đảo và định thức: Tính ma trận nghịch đảo \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) và định thức của ma trận Jacobian. Định thức được dùng làm trọng số trong tích phân số.
- Tính đạo hàm không gian: Thu được đạo hàm không gian \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) dưới dạng tích của \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) và \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).
Bốn bước này có phân nhánh theo loại phần tử và số chiều không gian (2 chiều hoặc 3 chiều), nhưng luồng tổng thể là chung.
Dùng chung cho cấu hình tham chiếu và cấu hình hiện tại¶
Quy trình trên cũng có thể áp dụng cho cấu hình hiện tại chỉ bằng cách thay \(\boldsymbol{X}^e\) bằng tọa độ nút hiện tại \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), từ đó thu được đạo hàm không gian \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\). Vì vậy, có thể dùng chung cùng một quy trình cho phương pháp Total Lagrange và Updated Lagrange, chỉ cần chuyển đổi tọa độ nút đầu vào.
Mục liên quan¶
- Hàm dạng và xấp xỉ phần tử hữu hạn — định nghĩa hàm dạng và tọa độ nút phần tử
- Rời rạc hóa công ảo nội lực — xây dựng ma trận B từ đạo hàm không gian
- Tích phân số — sử dụng định thức Jacobian trong tích phân Gauss