Ruimtelijke afgeleiden van vormfuncties

De vormfuncties \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) die zijn geïntroduceerd in Vormfuncties en eindige-elementenbenadering worden gegeven als functies van de natuurlijke coördinaten \(\boldsymbol{r}\), de lokale coördinaten van een element. Via de rek-verplaatsingsrelatie bevatten de integranden in de zwakke vorm daarentegen partiële afgeleiden naar de fysieke coördinaten (de referentieconfiguratie \(\boldsymbol{X}\) of de huidige configuratie \(\boldsymbol{x}\)), namelijk \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) of \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Deze paragraaf ordent de procedure om deze ruimtelijke afgeleiden van vormfuncties te berekenen uit de elementknoopcoördinaten en afgeleiden naar de natuurlijke coördinaten.

Uitdrukking van ruimtelijke afgeleiden met de kettingregel

Toepassing van de kettingregel op de interpolatieformule \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (vorige paragraaf), met de Jacobi-matrix \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) van de afbeelding van natuurlijke naar fysieke coördinaten, geeft

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Hier zijn \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) en \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) matrices waarin rij \(\alpha\) de partiële-afgeleidevector voor knoop \(\alpha\) voorstelt; beide zijn \(n_e \times 3\)-matrices.

Opbouw van de Jacobi-matrix

Differentiëren van de interpolatieformule naar \(\boldsymbol{r}\) geeft

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

De Jacobi-matrix kan dus rechtstreeks worden opgebouwd uit de elementknoopcoördinaten \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) en de afgeleiden naar de natuurlijke coördinaten \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). De afgeleiden naar de natuurlijke coördinaten worden bepaald door de functionele vorm van de vormfuncties en zijn vooraf voor elk elementtype geïmplementeerd.

De determinant van de Jacobi-matrix \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) wordt bij numerieke integratie gebruikt om het volume-element te transformeren als \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Als de determinant \(0\) wordt, is het element gedegenereerd en mislukt de berekening.

Rekenverloop

Uit de bovenstaande afleiding kan de berekening van de ruimtelijke afgeleiden \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) in de volgende vier fasen worden verdeeld.

1. Afgeleiden naar natuurlijke coördinaten berekenen: Bereken met het elementtype en de natuurlijke coördinaten \(\boldsymbol{r}\) van het evaluatiepunt als invoer de matrix met afgeleiden naar de natuurlijke coördinaten \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Omdat de functionele vorm van de vormfuncties per elementtype verschilt, vertakt de verwerking volgens het elementtype.
2. Jacobi-matrix berekenen: Stel uit de elementknoopcoördinaten \(\boldsymbol{X}^e\) en \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) de Jacobi-matrix \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) samen met de vergelijking uit de vorige paragraaf.
3. Inverse matrix en determinant berekenen: Bereken de inverse \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) en de determinant van de Jacobi-matrix. De determinant wordt gebruikt bij de weging voor numerieke integratie.
4. Ruimtelijke afgeleiden berekenen: Verkrijg uit \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) en \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) de ruimtelijke afgeleiden \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) als hun product.

Deze vier fasen vertakken volgens het elementtype en de ruimtelijke dimensie (twee of drie dimensies), maar het algemene verloop is gemeenschappelijk.

Gemeenschappelijke behandeling van referentie- en huidige configuraties

De bovenstaande procedure kan ook worden toegepast door \(\boldsymbol{X}^e\) eenvoudig te vervangen door de huidige knoopcoördinaten \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) om de ruimtelijke afgeleiden \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) in de huidige configuratie te verkrijgen. Dezelfde procedure kan dus worden gedeeld tussen de Total Lagrangian- en Updated Lagrangian-formuleringen door alleen de ingevoerde knoopcoördinaten te wisselen.

Gerelateerde onderwerpen

• Vormfuncties en eindige-elementenbenadering — Definitie van vormfuncties en elementknoopcoördinaten
• Discretisatie van interne virtuele arbeid — Opbouw van de B-matrix uit ruimtelijke afgeleiden
• Numerieke integratie — Gebruik van de Jacobi-determinant in Gauss-kwadratuur