Ga naar inhoud

Geavanceerde elementformuleringen

De standaard verplaatsingsgebaseerde formulering die wordt beschreven in Formulering van 3D-massieve elementen vertoont bij toepassing op vrijwel onsamendrukbare materialen of dunwandige constructies waarin buiging domineert een te grote kunstmatige stijfheid, bekend als locking (volumetric locking of shear locking). Om dit te vermijden biedt FrontISTR de B-bar- en F-bar-methoden, die alleen het volumetrische deel van de B-matrix of de vervormingsgradiënt vervangen; incompatibele elementen met interne vrijheidsgraden; u-p-gemengde elementen die druk als een onafhankelijk onbekend veld behandelen; en MITC-schaal- en balkelementen die zijn gespecialiseerd voor plaat- en balkconstructies.

Dit hoofdstuk vat de formuleringen van deze geavanceerde elementen en constructie-elementen per elementtype samen.

B-bar-methode

Wanneer een lineair hexaëderelement met 8 knopen wordt gebruikt voor een vrijwel onsamendrukbaar materiaal, kan het rekveld binnen één element in strijd zijn met de voorwaarde van constant volume, waardoor een te grote stijfheid ontstaat die volumetric locking wordt genoemd. De B-bar-methode vermindert deze overconstraint door de componenten van de B-matrix die bijdragen aan volumetrische uitzetting te vervangen door waarden die in het elementcentrum zijn geëvalueerd [Hughes1980].

Laat in het elementcentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) de B-matrix die uit de ruimtelijke afgeleiden van de vormfuncties wordt berekend \(\bar{\boldsymbol{B}}\) zijn, en laat op integratiepunt \(\boldsymbol{r}\) de gewone B-matrix \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) zijn. In de verplaatsing-rekrelatie voor knoop \(\alpha\) en vrijheidsgraad \(i\) worden de volumetrische rekcomponenten \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) gewijzigd door toevoeging van

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Voor de schuifcomponenten \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) wordt de gewone \(\boldsymbol{B}\) gebruikt. De elementstijfheid en de interne-krachtvector worden samengesteld met de resulterende B-bar-matrix.

FrontISTR biedt deze formulering specifiek voor het lineaire hexaëderelement met 8 knopen (element-ID 361; zie Elementnummeringssysteem), en zij kan worden toegepast op formuleringen voor kleine vervormingen, Total Lagrange en Updated Lagrange.

F-bar-methode

Bij eindige vervorming treedt volumeverandering niet-lineair op via de vervormingsgradiënt \(\boldsymbol{F}\). De F-bar-methode [deSouzaNeto1996] past op het niveau van de vervormingsgradiënt een behandeling tegen volumetric locking toe die analoog is aan de B-bar-methode.

Laat de volumeverhouding van de in het elementcentrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) geëvalueerde vervormingsgradiënt \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) zijn, en laat de volumeverhouding op een integratiepunt \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) zijn. De vervormingsgradiënt op het integratiepunt wordt vervangen door

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Hierdoor geldt \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), zodat de volumeverhouding in het hele element gelijk wordt gemaakt aan de waarde in het elementcentrum. De vervangen \(\bar{\boldsymbol{F}}\) wordt gebruikt voor de spanningsevaluatie en de opbouw van de rek-verplaatsingsmatrix, en de elementtangentstijfheid bevat de aanvullende termen die met deze vervanging samenhangen.

FrontISTR implementeert de F-bar-methode specifiek voor het lineaire hexaëderelement met 8 knopen, en zij kan worden toegepast op kleine vervormingen en op niet-lineaire geometrie volgens Total Lagrange / Updated Lagrange.

Incompatibele elementen

Het lineaire hexaëderelement met 8 knopen mist de rekmodi die voor buiging nodig zijn en vertoont bending locking in problemen waarin buiging domineert. Incompatibele elementen [Taylor1976] introduceren extra verplaatsingsmodi binnen het element om dit tekort te compenseren.

Naast de elementknoopverplaatsingen \(\boldsymbol{u}^e\) worden incompatibele-modusvrijheidsgraden \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), die alleen binnen het element bestaan, ingevoerd als 3 richtingen × 3 modi per element, en wordt het verplaatsingsveld benaderd als

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Voor natuurlijke coördinaten \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) worden de incompatibele vormfuncties genomen als \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) en \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Zij garanderen geen continuïteit over elementgrenzen, maar voegen een interne ruimte toe die de rekken behorend bij buigmodi kan reproduceren.

De elementstijfheid wordt eerst samengesteld in blokvorm met externe en interne vrijheidsgraden

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Na samenstelling in deze vorm elimineert statische condensatie de interne vrijheidsgraden met \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), zodat de elementstijfheid met uitsluitend de externe vrijheidsgraden wordt verkregen:

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

die aan de globale assemblage wordt doorgegeven.

FrontISTR implementeert het incompatibele element specifiek voor het lineaire hexaëderelement met 8 knopen (C3D8IC), en het kan worden toegepast op formuleringen voor kleine vervormingen, Total Lagrange en Updated Lagrange.

U-P-gemengde elementen

Terwijl de B-bar- en F-bar-methoden de volumetrische component corrigeren binnen een verplaatsingsgebaseerd raamwerk, gebruikt het u-p-gemengde (U-P-)element een gemengde formulering [Bathe1996] waarin druk \(\lambda\) als een onbekend veld onafhankelijk van de verplaatsing wordt geïntroduceerd. Voor vrijwel onsamendrukbare materialen, zoals rubberachtige materialen met een Poisson-verhouding die zeer dicht bij 0,5 ligt of metalen na plastische vervorming, veroorzaakt het afdwingen van de voorwaarde van constant volume met alleen het verplaatsingsveld volumetric locking; door druk als onafhankelijke variabele te behandelen wordt deze beperking versoepeld.

De spanning wordt gescheiden in deviatorische en drukcomponenten als

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Hier is \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) de deviatorische elastische matrix die wordt verkregen door uit de elastische matrix het volumetrische deel te verwijderen dat evenredig is met de bulkmodulus \(K\). De druk \(\lambda\) en volumetrische rek \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) zijn via de samendrukbaarheid \(\alpha^{-1} = 1/K\) door de constraint gerelateerd als

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Discretisatie met verplaatsing \(\boldsymbol{u}\) en druk \(\lambda\) als onbekenden levert het gekoppelde elementsysteem

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

waarbij \(\mathbf{K}_{uu}\) de deviatorische elastische bijdrage bevat en, bij eindige vervorming, de geometrische stijfheid; \(\mathbf{K}_{up}\) volumetrische rek en druk koppelt; en \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) de drukstabilisatieterm is (\(\boldsymbol{N}_p\) is de drukvormfunctie). Omdat de drukvrijheidsgraden intern aan het element zijn,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

wordt in deze vorm statische condensatie uitgevoerd en wordt de effectieve stijfheid met uitsluitend de externe (verplaatsings-)vrijheidsgraden aan de globale assemblage doorgegeven.

FrontISTR implementeert het U-P-element specifiek voor het lineaire hexaëderelement met 8 knopen, met één drukvrijheidsgraad per element (constant binnen het element). Het kan worden toegepast op formuleringen voor kleine vervormingen, Total Lagrange en Updated Lagrange. In Updated Lagrange wordt de deviatorische spanning bijgewerkt met een objectieve spanningssnelheid (Jaumann/Hughes-Winget-type), waarna de druk \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) wordt opgelegd met de door statische condensatie verkregen waarde.

Schaalelementen

Schaalelementen op basis van de Reissner-Mindlin-plaat-/schaaltheorie worden gebruikt voor dunwandige plaat- en schaalconstructies. Naarmate de dikte afneemt, overschatten laagordige verplaatsingsgebaseerde plaat-/schaalelementen de dwarsschuifrek via een mechanisme dat analoog is aan volumetric locking (shear locking), waardoor de stijfheid voor buigmodi buitensporig toeneemt. De MITC-methode (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] vermijdt dit probleem door alleen de schuifrekcomponenten opnieuw te bemonsteren op vooraf gedefinieerde tying points in het element en deze bemonsterde waarden over het element terug te interpoleren.

De knopen van een MITC-schaalelement liggen op het middenvlak, en elke knoop heeft zes vrijheidsgraden: drie translatiecomponenten en drie rotatiecomponenten om het lokale coördinatenstelsel van de normaal op het middenvlak. De elementstijfheid wordt geëvalueerd met driedimensionale Gauss-integratie over de natuurlijke coördinaten van het middenvlak en de dikterichting, en de dikte \(h\) wordt tijdens de constitutieve evaluatie als elementeigenschap opgegeven.

FrontISTR biedt MITC3 (element-ID 731), MITC4 (741) en MITC9 (743), die door één middenvlaklaag worden weergegeven, evenals gelaagde schaalelementen MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 knopen, 3 DOF's per knoop) en MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 knopen, 3 DOF's per knoop), waarvan de knopen in twee lagen over de dikte zijn gerangschikt. In de gelaagde schaalelementen bestaan de knoopvrijheidsgraden alleen uit drie translatiecomponenten, terwijl buigmodi die overeenkomen met rotatievrijheidsgraden door de tweelaagse rangschikking worden weergegeven.

Balkelementen

Lijnvormige constructiedelen zoals liggers en raamwerken worden met balkelementen gediscretiseerd. FrontISTR gebruikt een Timoshenko-balkformulering die rekening houdt met schuifvervorming en zowel buiging als schuif uitdrukt als functies van translatie- en rotatievrijheidsgraden.

Elke balkknoop heeft zes vrijheidsgraden: drie translatiecomponenten en drie rotatiecomponenten om de balkas en de dwarsassen. De elementstijfheid wordt geëvalueerd door eendimensionale numerieke integratie langs de balkas. De doorsnedeoppervlakte \(A\) en de tweede momenten van oppervlakte \(I\) in de buig- en torsierichtingen worden als balkdoorsnede-eigenschappen opgegeven en bepalen samen met de Young-modulus \(E\) en schuifmodulus \(G\) van het materiaal de axiale, buig-, torsie- en schuifstijfheden.

FrontISTR biedt een recht balkelement met 2 knopen (element-ID 611) en een hybride tetraëdrisch massief-balk-element met 4 knopen dat met 3 knopen wordt weergegeven (641, voor gemengde vrijheidsgraden).

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status