Sari la conținut

Formulări avansate de elemente

Formularea standard bazată pe deplasări prezentată în Formularea elementelor solide tridimensionale manifestă o rigiditate artificială excesivă, numită locking (locking volumic sau locking de forfecare), atunci când este aplicată materialelor aproape incompresibile sau structurilor subțiri dominate de încovoiere. Pentru a evita acest fenomen, FrontISTR include metodele B-bar și F-bar, care înlocuiesc numai partea volumică a matricei B sau a gradientului de deformare, elemente incompatibile care introduc grade de libertate interne, elemente mixte u-p care tratează presiunea ca un câmp necunoscut independent, precum și elemente de înveliș MITC și elemente de grindă specializate pentru structuri de tip placă și grindă.

În acest capitol, formulările acestor elemente avansate și structurale sunt organizate pe tipuri de element.

Metoda B-bar

Atunci când un element hexaedric liniar cu 8 noduri este utilizat pentru un material aproape incompresibil, deformația din interiorul unui element intră în conflict cu restricția de volum constant, producând rigiditatea excesivă numită locking volumic. Metoda B-bar înlocuiește componentele matricei B care contribuie la dilatarea volumică cu valori evaluate în centrul elementului, reducând supra-constrângerea [Hughes1980].

Fie \(\bar{\boldsymbol{B}}\) matricea B calculată din derivatele spațiale ale funcțiilor de formă în centrul elementului \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) și \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) matricea B obișnuită calculată la punctul de integrare \(\boldsymbol{r}\). În relația deplasare-deformație pentru gradul de libertate \(i\) al nodului \(\alpha\), componentelor de deformație volumică \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) li se adaugă

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

iar pentru componentele de forfecare \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) se utilizează matricea \(\boldsymbol{B}\) obișnuită. Matricea de rigiditate a elementului și vectorul forțelor interne sunt apoi asamblate folosind matricea B-bar astfel obținută.

În FrontISTR, această formulare este disponibilă exclusiv pentru elementul hexaedric liniar cu 8 noduri (ID element 361, Sistemul de numerotare a elementelor) și poate fi aplicată atât deformărilor mici, cât și formulărilor Total Lagrange și Updated Lagrange.

Metoda F-bar

La deformări finite, variația de volum intervine neliniar prin gradientul de deformare \(\boldsymbol{F}\); metoda F-bar [deSouzaNeto1996] aplică, la nivelul gradientului de deformare, o măsură împotriva lockingului volumic echivalentă metodei B-bar.

Fie \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) raportul volumic al gradientului de deformare evaluat în centrul elementului \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) și \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) raportul volumic al gradientului de deformare la punctul de integrare. Gradientul de deformare la punctul de integrare este înlocuit cu

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Astfel, \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), iar raportul volumic este uniformizat la valoarea din centrul elementului pe întregul element. Pentru evaluarea tensiunii și construirea matricei deformație-deplasare se utilizează \(\bar{\boldsymbol{F}}\) după înlocuire, iar matricea tangentă a rigidității elementului este asamblată incluzând termenii suplimentari rezultați din această înlocuire.

În FrontISTR, metoda F-bar este implementată exclusiv pentru elementul hexaedric liniar cu 8 noduri și poate fi aplicată atât deformărilor mici, cât și geometriei neliniare Total Lagrange / Updated Lagrange.

Element incompatibil

Elementul hexaedric liniar cu 8 noduri nu dispune de gradele de libertate de deformație necesare pentru modurile de încovoiere și prezintă locking de încovoiere în problemele dominate de încovoiere. Elementul incompatibil [Taylor1976] introduce moduri suplimentare de deplasare în interiorul elementului pentru a compensa acest neajuns.

Pe lângă deplasările nodale ale elementului \(\boldsymbol{u}^e\), se introduc gradele de libertate ale modurilor incompatibile \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), existente numai în interiorul elementului, pentru 3 direcții × 3 moduri pe element, iar câmpul de deplasare este aproximat prin

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Pentru coordonatele naturale \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), funcțiile de formă incompatibile sunt \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) și \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Acestea nu garantează continuitatea la frontierele elementului, dar adaugă în interiorul elementului un spațiu capabil să reproducă deformațiile modurilor de încovoiere.

După asamblarea rigidității elementului sub forma descompunerii în blocuri a gradelor de libertate externe și interne

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

se efectuează condensarea statică prin eliminarea gradelor de libertate interne cu \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), iar rigiditatea elementului numai pentru gradele de libertate externe

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

este transmisă asamblării globale.

În FrontISTR, elementul incompatibil este implementat exclusiv pentru elementul hexaedric liniar cu 8 noduri (C3D8IC) și poate fi aplicat deformărilor mici, Total Lagrange și Updated Lagrange.

Element mixt U-P

În timp ce metodele B-bar și F-bar corectează componenta volumică în cadrul unei formulări bazate pe deplasări, elementul mixt u-p (U-P) utilizează o formulare mixtă [Bathe1996] în care presiunea \(\lambda\) este introdusă drept câmp necunoscut independent de deplasare. În materialele aproape incompresibile (de exemplu, materiale cauciucate cu raportul lui Poisson foarte apropiat de 0,5 sau metale după deformare plastică), încercarea de a satisface restricția de volum constant numai prin câmpul de deplasare produce locking volumic; tratarea presiunii ca variabilă independentă relaxează această restricție.

Tensiunea se descompune într-o componentă deviatorică și presiune și se scrie

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Aici, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) este matricea elastică deviatorică obținută prin eliminarea din matricea elastică a părții volumice proporționale cu modulul volumic \(K\). Presiunea \(\lambda\) și deformația volumică \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) sunt legate prin condiția de constrângere exprimată prin compresibilitatea \(\alpha^{-1} = 1/K\):

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Discretizarea cu deplasarea \(\boldsymbol{u}\) și presiunea \(\lambda\) drept necunoscute conduce la sistemul cuplat al elementului

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Aici, \(\mathbf{K}_{uu}\) conține componenta elastică deviatorică și, pentru deformări finite, rigiditatea geometrică; \(\mathbf{K}_{up}\) este matricea care cuplează deformația volumică și presiunea; iar \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) este termenul de stabilizare al presiunii (\(\boldsymbol{N}_p\) este funcția de formă pentru presiune). Deoarece gradele de libertate ale presiunii sunt închise în interiorul elementului, acestea sunt condensate static sub forma

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

iar rigiditatea efectivă numai pentru gradele de libertate externe (deplasări) este transmisă asamblării globale.

În FrontISTR, elementul U-P este implementat exclusiv pentru elementul hexaedric liniar cu 8 noduri, cu un singur grad de libertate de presiune pe element (constant în interiorul elementului). Poate fi aplicat deformărilor mici, Total Lagrange și Updated Lagrange; în Updated Lagrange, tensiunea deviatorică este actualizată cu o rată obiectivă a tensiunii (tip Jaumann/Hughes-Winget), după care presiunea \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) este aplicată folosind valoarea obținută prin condensare statică.

Elemente de înveliș

Pentru structurile subțiri de tip placă și înveliș se utilizează elemente de înveliș bazate pe teoria de placă Reissner-Mindlin. Pe măsură ce grosimea scade, elementele de placă și înveliș de ordin inferior bazate pe deplasări supraestimează deformația de forfecare transversală printr-un mecanism analog lockingului volumic (locking de forfecare), iar rigiditatea pentru modurile de încovoiere crește divergent. Metoda MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] evită această problemă prin reeșantionarea numai a componentelor de deformație de forfecare în puncte de legare prestabilite din interiorul elementului și prin interpolarea valorilor eșantionate înapoi în element.

Nodurile elementelor de înveliș MITC sunt noduri ale suprafeței mediane pe suprafața curbată, iar fiecare nod are 6 grade de libertate: 3 componente de translație și 3 componente de rotație în jurul normalei la suprafața mediană. Rigiditatea elementului este evaluată prin integrare Gauss tridimensională, combinând coordonatele naturale ale suprafeței mediane cu direcția grosimii, iar grosimea plăcii \(h\) este furnizată ca atribut al elementului la calculul legii constitutive.

FrontISTR oferă MITC3 (ID element 731), MITC4 (741) și MITC9 (743), tratate cu un singur strat pe suprafața mediană, precum și elementele de înveliș stratificate MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 noduri, 3 grade de libertate pe nod) și MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 noduri, 3 grade de libertate pe nod), cu două straturi de noduri pe direcția grosimii. În elementele de înveliș stratificate, gradele de libertate nodale sunt numai cele 3 componente de translație, iar modurile de încovoiere echivalente gradelor de libertate de rotație sunt reprezentate prin dispunerea pe două straturi.

Elemente de grindă

Elementele liniare, precum grinzile și cadrele, sunt discretizate cu elemente de grindă. FrontISTR utilizează formularea de grindă Timoshenko, care ia în considerare deformarea de forfecare și descrie atât încovoierea, cât și forfecarea ca funcții ale gradelor de libertate de deplasare și rotație.

Gradele de libertate nodale ale elementului de grindă sunt 6: 3 componente de translație și 3 componente de rotație în jurul axei și al axelor transversale; rigiditatea elementului este evaluată prin integrare numerică unidimensională de-a lungul axei grinzii. Aria secțiunii \(A\) și momentele de inerție ale secțiunii \(I\) pentru direcțiile de încovoiere și torsiune sunt furnizate ca atribute ale elementului, iar împreună cu modulul longitudinal de elasticitate \(E\) și modulul de forfecare \(G\) ale materialului formează coeficienții de rigiditate pentru întindere, încovoiere, torsiune și forfecare.

FrontISTR oferă un element de grindă dreaptă cu 2 noduri (ID element 611) și un element hibrid solid-grindă tetraedric cu 4 noduri reprezentat prin 3 noduri (641, pentru grade de libertate mixte).

Elemente conexe

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status