Iterație neliniară și integrare în timp

FrontISTR avansează soluția combinând iterații neliniare și integrarea în timp la fiecare subpas din controlul incrementelor fiecărui pas. Această pagină descrie structurile iterative situate între controlul exterior al pașilor și solverul liniar interior: iterații Newton-Raphson, iterații de contact, integrarea în timp pentru analiza dinamică și cadrul pentru avansarea în timp și iterația neliniară în conducția termică tranzitorie.

Prezentare generală

Rezolvarea neliniară și integrarea în timp în cadrul unui pas au o structură imbricată formată din mai multe bucle, de la exterior spre interior. Fiecare nivel are rolul următor.

Nivel	Rol	Pagina principală de referință
Bucla de pași	Împarte întreaga analiză în mai mulți pași și comută condițiile la limită, sarcinile, contactul și activarea elementelor.	Controlul pașilor
Bucla de subpași	Împarte un pas în incremente de timp și avansează folosind incremente fixe sau incremente automate și cutback.	Controlul pașilor
Avansarea stării prin integrare în timp	În analiza dinamică și conducția termică tranzitorie, obține starea la timpul următor din starea pasului precedent.	Această pagină
Bucla de căutare a stării de contact	În analiza de contact, caută modificări ale stării de contact (contact/separare) și actualizează structura matricei de rigiditate.	Această pagină
Iterația exterioară Lagrange augmentată	Pentru contactul ALAGRANGE, îmbunătățește progresiv precizia constrângerii de contact.	Această pagină
Iterația Newton	Rezolvă iterativ ecuațiile neliniare de echilibru prin metoda Newton-Raphson.	Această pagină
Rezolvarea sistemului liniar	Rezolvă sistemul liniar bazat pe matricea de rigiditate tangentă la fiecare iterație Newton.	Solver și precondiționare

Nivelurile care apar depind de tipul analizei.

Tipul analizei	Integrare în timp	Căutarea stării de contact	Iterație exterioară	Iterație Newton
Analiză statică liniară	—	—	—	—
Analiză statică neliniară (fără contact)	—	—	—	Da
Analiză statică neliniară (contact SLAGRANGE)	—	Da	—	Da
Analiză statică neliniară (contact ALAGRANGE)	—	Da	Da	Da
Analiză dinamică, implicită	Newmark-β	—	—	Da (când este neliniară)
Analiză dinamică, explicită	Diferențe centrale	—	—	—
Analiză de răspuns în frecvență	Suprapunere modală	—	—	—
Conducție termică tranzitorie	Crank-Nicolson / Euler implicit	—	—	Da (când proprietățile materialului depind de temperatură)
Conducție termică staționară	—	—	—	Da (când proprietățile materialului depind de temperatură)

Pentru modul de selectare a tipului de contact și a algoritmului, consultați Contact și înglobare. Această pagină descrie modul în care algoritmul selectat este organizat ca buclă iterativă.

Alegerea schemei de rezolvare

Structura iterativă este determinată automat din tipul de analiză selectat (Tipuri de analiză), prezența sau absența neliniarității (neliniaritate geometrică, neliniaritate de material sau contact) și algoritmul de contact (SLAGRANGE sau ALAGRANGE). Utilizatorul ajustează direct limitele superioare ale numărului de iterații și criteriile de convergență.

La reglarea acestor setări se aplică următoarele orientări.

• Pentru analizele standard, limita superioară implicită a numărului de iterații este în general suficientă. Dacă o problemă dificil de convergent atinge numărul maxim de iterații fără convergență, utilizați mai întâi cutback (Controlul pașilor); măriți limita superioară numai dacă aceasta nu îmbunătățește convergența.
• Ajustați criteriile de convergență pentru a echilibra stabilitatea analizei și timpul de calcul. Criterii mai stricte îmbunătățesc precizia echilibrului, dar cresc numărul de iterații. În analizele de contact și în analizele care implică multiplicatori Lagrange, combinarea criteriului bazat pe incrementul deplasării sau a criteriului Lagrange cu criteriul reziduului poate îmbunătăți stabilitatea.
• Pentru parametrii de integrare în timp din analiza dinamică (coeficienții Newmark-β), porniți de la o combinație standard de valori și ajustați-i atunci când modificați caracteristicile de amortizare numerică ale răspunsului vibratoriu.
• Pentru schema de integrare în timp din conducția termică tranzitorie, utilizați Crank-Nicolson pentru probleme cu variații line ale temperaturii și Euler implicit atunci când variațiile bruște sau stabilitatea pe termen lung sunt mai importante.

Iterația Newton-Raphson în analiza statică

În analiza statică neliniară, ecuațiile de echilibru care conțin neliniaritate geometrică sau de material sunt rezolvate iterativ prin metoda Newton-Raphson. Fiecare iterație se desfășoară astfel.

1. Se evaluează vectorul reziduu \(\boldsymbol{R}\) la soluția curentă.
2. Se asamblează matricea de rigiditate tangentă \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Se rezolvă sistemul liniar \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) pentru a obține corecția deplasării \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Soluția se actualizează ca \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Se compară cu criteriile de convergență. Dacă s-a atins convergența, iterația se încheie; în caz contrar se revine la pasul 1.

Solverul liniar efectuează rezolvarea sistemului liniar (pasul 3). Pentru selectarea solverului și a precondiționerului, consultați Solver și precondiționare.

Iterația este controlată prin parametrii de control ai pasului din !STEP. Principalele valori de control sunt următoarele.

Rol	Parametru
Limita superioară a numărului de iterații. Dacă limita este atinsă fără convergență, subpasul este supus cutback.	MAXITER
Criteriu de convergență bazat pe norma relativă a reziduului.	CONVERG
Criteriu de convergență bazat pe raportul normelor corecției deplasării. Este utilizat împreună cu criteriul reziduului pentru îmbunătățirea stabilității.	CONVERG_DDISP
Criteriu de divergență pentru norma reziduului. Iterația se încheie când această valoare este depășită.	MAXRES

Numărul maxim de iterații Newton utilizat în deciziile de incrementare automată și cutback din Controlul pașilor reprezintă numărul de iterații Newton descrise pe această pagină. Controlul automat al incrementelor mărește incrementul de timp după un subpas care a convergat în puține iterații și îl micșorează după un subpas care a necesitat multe iterații.

Iterația de contact în analiza statică

În analiza de contact, starea de contact se modifică în timpul iterației din cauza contactului, separării și alunecării pe suprafețele de contact, astfel încât iterația Newton este combinată cu actualizări ale stării de contact. Structura depinde de algoritmul de rezolvare a contactului.

Ambii algoritmi plasează o buclă de căutare a stării de contact la nivelul cel mai exterior. La fiecare trecere prin această buclă, starea de contact (contact/separare) este reevaluată după convergența iterației Newton interioare. Dacă starea s-a modificat, structura matricei de rigiditate este actualizată și iterația interioară este executată din nou. Bucla se încheie când starea de contact este neschimbată față de trecerea precedentă și sunt satisfăcute criteriile de convergență ale contactului (criteriile pentru forța de contact și multiplicatorul Lagrange). Limita superioară a numărului de treceri este specificată prin MAXCONTITER din !STEP.

Cu contact SLAGRANGE, gradele de libertate de contact sunt introduse în sistemul liniar folosind metoda standard a multiplicatorilor Lagrange, rezultând o structură pe două niveluri în care iterația Newton este plasată direct în bucla de căutare a stării de contact. Nu există iterație Lagrange augmentată.

Cu contact ALAGRANGE, în interiorul buclei de căutare a stării de contact este adăugată o iterație Lagrange augmentată, iar iterația Newton se execută în interiorul acesteia, rezultând o structură pe trei niveluri. La fiecare iterație Lagrange augmentată, constrângerea de contact este reevaluată folosind o combinație a termenului de penalizare și a multiplicatorului Lagrange, îmbunătățind progresiv precizia constrângerii. Limita superioară a numărului de iterații Lagrange augmentate este specificată prin AUGITER din !CONTACT_ALGO.

Valorile de control pentru iterația de contact sunt următoarele.

Rol	Specificat în
Limita superioară a numărului de iterații ale buclei de căutare a stării de contact. Utilizată atât pentru SLAGRANGE, cât și pentru ALAGRANGE.	!STEP MAXCONTITER
Limita superioară a numărului de iterații Lagrange augmentate. Utilizată numai pentru ALAGRANGE.	!CONTACT_ALGO AUGITER
Criteriul de convergență pentru corecția multiplicatorului Lagrange. Utilizat împreună cu criteriul reziduului în analizele cu contact.	!STEP CONVERG_LAG

Numărul de iterații de contact utilizat în deciziile de incrementare automată din Controlul pașilor reprezintă numărul de iterații descrise pe această pagină, inclusiv actualizările stării de contact. Analizele în care contactul și separarea apar frecvent tind să necesite mai multe iterații de contact, ceea ce afectează și deciziile de incrementare automată și cutback. Pentru tipurile de contact, definițiile perechilor și selectarea algoritmului, consultați Contact și înglobare. Pentru modul de rezolvare a sistemului liniar care conține grade de libertate de contact, consultați Solver și precondiționare.

Integrarea în timp în analiza dinamică (metoda implicită)

Metoda implicită pentru analiza dinamică utilizează metoda Newmark-β pentru a corela deplasarea, viteza și accelerația la timpul următor, în fiecare pas de timp, și combină aceste relații cu ecuația de mișcare pentru a obține starea la timpul \(t + \Delta t\). Restricția de stabilitate asupra pasului de timp \(\Delta t\) este redusă, ceea ce permite rezolvarea eficientă a răspunsurilor structurale dominate de componente de joasă frecvență.

Se utilizează următorii doi parametri de integrare în timp.

Parametru	Rol
\(\beta\)	Coeficient asociat interpolării în timp a deplasării.
\(\gamma\)	Coeficient asociat interpolării în timp a vitezei.

Combinația \(\beta = 1/4\) și \(\gamma = 1/2\) se numește metoda accelerației medii și este o alegere standard, necondiționat stabilă și fără amortizare numerică. Pentru a introduce amortizare numerică, alegeți \(\gamma\) mai mare decât \(1/2\). Pentru detalii matematice despre combinațiile de parametri, stabilitate și caracteristicile erorii, consultați manualul teoretic.

Când este inclusă neliniaritatea (neliniaritate geometrică, neliniaritate de material sau contact), în fiecare pas de timp se efectuează iterații Newton; sistemul liniar este rezolvat în cadrul iterației, iar starea este actualizată. Criteriile de convergență utilizează CONVERG și valorile asociate, comune cu analiza statică. În analiza dinamică cu contact, aceeași structură iterativă ca în Iterația de contact în analiza statică este inclusă în fiecare pas de timp.

Pasul de timp în analiza dinamică este controlat în principal de condițiile de timp din !STEP. Cu incremente fixe, !STEP specifică DTIME ca pas de timp și ETIME ca durată a pasului. Valorile n_step și t_delta din !DYNAMIC sunt tratate ca valori implicite atunci când !STEP este omis și pentru compatibilitate cu versiunile anterioare. În metoda implicită neliniară, !STEP cu INC_TYPE=AUTO activează incrementele automate și cutback, mărind sau micșorând pasul de timp în funcție de starea iterațiilor Newton și de contact. Indiferent dacă se folosesc incremente fixe sau automate, stabiliți pasul de timp ținând seama atât de convergență, cât și de precizia necesară.

Integrarea în timp în analiza dinamică (metoda explicită)

Metoda explicită pentru analiza dinamică utilizează metoda diferențelor centrale pentru a calcula direct starea la timpul următor folosind numai informațiile despre deplasare, viteză și accelerație de la timpul precedent. Deoarece nu se rezolvă ecuații simultane, costul de calcul pe pas este redus. Chiar și atunci când este inclusă neliniaritatea, fiecare pas de timp este o actualizare într-o singură etapă, fără iterație Newton.

Pasul de timp are o limită superioară impusă de o condiție de stabilitate bazată pe perioada proprie minimă a sistemului (condiția CFL). Un pas de timp care depășește această limită determină divergența soluției numerice, astfel încât nu pot fi utilizate valori mari ale pasului de timp precum cele posibile cu metoda implicită. Metoda explicită este avantajoasă pentru fenomene precum impactul, propagarea undelor și contactul la viteză mare, pentru care pașii mici de timp sunt în mod inerent necesari.

Când este inclus contactul, metoda Forward Increment Lagrange este utilizată pentru impunerea constrângerilor de contact. Forțele de contact sunt evaluate într-un mod compatibil cu actualizarea într-o singură etapă a metodei explicite.

Metoda de rezolvare pentru analiza de răspuns în frecvență

Analiza de răspuns în frecvență obține direct răspunsul periodic în regim staționar în domeniul frecvenței folosind metoda suprapunerii modale. Evaluează răspunsul variind frecvența de excitație și nu necesită urmărirea unei istorii în timp prin iterații. Nu se efectuează nici iterații neliniare, nici integrare în timp.

Înainte de analiza de răspuns în frecvență, trebuie efectuată analiza modală pentru același sistem și trebuie extrase numărul necesar de moduri proprii. Sunt acceptate numai modele liniare; analiza nu poate fi efectuată când este activată neliniaritatea geometrică sau de material. Pentru poziționarea acestui tip de analiză, consultați Tipuri de analiză.

Avansarea în timp și iterația neliniară în conducția termică tranzitorie

Conducția termică tranzitorie are propria buclă de timp, completă în cadrul !HEAT. Pasul de timp este controlat printr-o cale separată de !STEP și !AUTOINC_PARAM din analiza structurală, iar când proprietățile materialului depind de temperatură, în fiecare pas de timp se efectuează iterații neliniare.

Schema de integrare în timp este selectată prin parametrul \(\beta\) din !HEAT.

\(\beta\)	Schemă	Caracteristici
0.5	Metoda Crank-Nicolson	Precizie de ordinul doi. Potrivită pentru probleme cu variații line ale temperaturii.
1.0	Metoda Euler implicit	Precizie de ordinul întâi. Necondiționat stabilă și oferă stabilitate pentru analize de lungă durată și variații bruște ale temperaturii.

Pasul de timp este controlat adaptiv prin combinarea pasului de timp inițial, a pasului de timp minim și a variației maxime de temperatură pe pas. Dacă variația temperaturii depășește DELTMX după calculul unui pas de timp, pasul de timp este redus, iar pasul este recalculat. Analiza este întreruptă dacă pasul de timp scade sub pasul minim DTMIN.

Când proprietățile materialului depind de temperatură, în fiecare pas de timp se efectuează iterații neliniare. Iterația este controlată astfel.

Rol	Parametru
Limita superioară a iterațiilor neliniare.	!HEAT ITMAX
Criteriul de convergență.	!HEAT EPS

Conducția termică staționară nu utilizează pași de timp; se efectuează numai iterații neliniare atunci când proprietățile materialului depind de temperatură. Deoarece controlul timpului pentru analiza de conducție termică este independent de !STEP din analiza structurală, verificați setările !HEAT atunci când ajustați pasul de timp.

Subiecte conexe

• Tipuri de analiză — Poziționarea fiecărui tip de analiză.
• Contact și înglobare — Selectarea tipurilor de contact, definițiile perechilor și algoritmii de rezolvare.
• Solver și precondiționare — Rezolvarea ecuațiilor liniare simultane apelate în cadrul iterației Newton.
• Controlul pașilor — Controlul exterior al pașilor/subpașilor și incrementele automate/cutback.
• Metoda Newton-Raphson (teorie) — Formularea metodei iterative de rezolvare.
• Criterii de convergență (teorie) — Definițiile matematice ale indicatorilor de convergență.
• Metode de analiză dinamică (teorie) — Formularea metodelor Newmark-β și diferențelor centrale.
• Analiza conducției termice tranzitorii (teorie) — Formularea integrării în timp pentru conducția termică.
• Analiza de contact (teorie) — Formularea metodei multiplicatorilor Lagrange.
• Referință de cuvinte-cheie: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.