Analiză statică liniar-elastică (introducere)

Această secțiune prezintă formularea analizei statice elastice pe baza teoriei deformațiilor infinitezimale. Pentru relația tensiune-deformație se presupune elasticitate liniară. Capitolul este conceput ca introducere pentru înțelegerea structurii generale a analizei structurale prin elemente finite și este organizat ca un capitol autonom.

Pentru teoria generală a principiului lucrului mecanic virtual (forma în configurația curentă, forma în configurația inițială și reducerea la deformații infinitezimale), consultați Principiul lucrului mecanic virtual; pentru detalii despre legea constitutivă liniar-elastică, consultați Elasticitate liniară; pentru convențiile notației tensoriale și Voigt, consultați Notație tensorială și fundamente matematice; pentru formularea generală a deformațiilor finite, consultați Mișcare, deformație și deformație specifică; iar pentru metodele de rezolvare a problemelor neliniare, consultați Matricea de rigiditate tangentă.

Ecuații de bază

În ipotezele deformațiilor infinitezimale și elasticității liniare, problema cu valori la limită din mecanica solidelor constă din ecuația de echilibru, condițiile la limită mecanice și condițiile la limită geometrice (condiții la limită esențiale) (a se vedea Figura 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{în} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{pe} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{pe} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Aici, \(\boldsymbol{\sigma}\) este tensiunea Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) este forța volumică pe unitatea de volum, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) este tracțiunea superficială prescrisă, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) este deplasarea prescrisă, iar \(S_t, S_u\) sunt frontierele mecanică și geometrică.

Figura 2.1.1 Problema cu valori la limită în mecanica solidelor (problemă cu deformații infinitezimale)

Folosind operatorul gradient simetric, relația deformație-deplasare este

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Ecuația constitutivă liniar-elastică este

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

unde \(\boldsymbol{C}\) este tensorul de elasticitate de ordinul patru.

Principiul lucrului mecanic virtual

Formele generale ale principiului lucrului mecanic virtual (forma în configurația curentă, forma în configurația inițială și reducerea la deformații infinitezimale) sunt sintetizate în Principiul lucrului mecanic virtual. În ipotezele deformațiilor infinitezimale și elasticității liniare, forma slabă este

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{pe} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Înlocuind ecuația constitutivă \eqref{eq:2.1.5} și scriind \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) în notația Voigt, se obține forma utilizată direct pentru discretizare:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

unde \(D\) este matricea elastică definită în Elasticitate liniară. Ecuațiile \eqref{eq:2.1.10} și \eqref{eq:2.1.7} constituie principiul lucrului mecanic virtual discretizat mai jos.

Discretizare și asamblarea ecuației globale

Discretizarea principiului lucrului mecanic virtual din ecuația \( \eqref{eq:2.1.10} \) pe elementele finite conduce la

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Pentru fiecare element, câmpul deplasărilor este interpolat utilizând deplasările nodurilor care compun elementul, după cum urmează.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Deformația specifică este apoi dată, utilizând ecuația \(\eqref{eq:2.1.4}\), astfel:

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Înlocuirea ecuațiilor \(\eqref{eq:2.1.12}\) și \(\eqref{eq:2.1.13}\) în ecuația \(\eqref{eq:2.1.11}\) conduce la

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Ecuația \(\eqref{eq:2.1.14}\) poate fi scrisă sub forma

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Aici, componentele matricei și vectorului definite de ecuațiile \(\eqref{eq:2.1.16}\) și \(\eqref{eq:2.1.17}\) pot fi calculate pentru fiecare element finit și asamblate prin suprapunere.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Deoarece ecuația \(\eqref{eq:2.1.15}\) este valabilă pentru o deplasare virtuală arbitrară \(\delta \boldsymbol{U}\), se obține ecuația următoare.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

În același timp, condiția la limită de deplasare din ecuația \(\eqref{eq:2.1.3}\) se exprimă astfel.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Rezolvând ecuația \(\eqref{eq:2.1.18}\) sub condiția de constrângere din ecuația \(\eqref{eq:2.1.19}\), se poate determina deplasarea nodală \(\boldsymbol{U}\).

A se vedea și