Lineární elastická statická analýza (úvod)

Tato část uvádí formulaci elastické statické analýzy založené na teorii infinitesimálních deformací. Pro vztah mezi napětím a přetvořením se předpokládá lineární elasticita. Tato kapitola je určena jako úvod k pochopení celkové struktury strukturální analýzy metodou konečných prvků a je uspořádána jako samostatně uzavřená kapitola.

Obecnou teorii principu virtuální práce (tvar v aktuální konfiguraci, tvar v počáteční konfiguraci a redukci na infinitesimální deformaci) viz Princip virtuální práce; podrobnosti lineárně elastického konstitutivního zákona viz Lineární elasticita; konvence tenzorového a Voigtova zápisu viz Tenzorový zápis a matematické základy; obecnou formulaci konečných deformací viz Pohyb, deformace a přetvoření; a metody řešení nelineárních problémů viz Tečná matice tuhosti.

Základní rovnice

Za předpokladů infinitesimálních deformací a lineární elasticity se okrajová úloha mechaniky pevných těles skládá z rovnice rovnováhy, mechanických okrajových podmínek a geometrických okrajových podmínek (podstatných okrajových podmínek) (viz obrázek 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{v} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{na} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{na} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Zde \(\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyho napětí, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) je objemová síla na jednotku objemu, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) je předepsané plošné zatížení, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) je předepsané posunutí a \(S_t, S_u\) jsou mechanická a geometrická hranice.

Obrázek 2.1.1 Okrajová úloha v mechanice pevných těles (problém infinitesimálních deformací)

Pomocí operátoru symetrického gradientu je vztah mezi přetvořením a posunutím

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Lineárně elastická konstitutivní rovnice je

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

kde \(\boldsymbol{C}\) je tenzor elasticity čtvrtého řádu.

Princip virtuální práce

Obecné tvary principu virtuální práce (tvar v aktuální konfiguraci, tvar v počáteční konfiguraci a redukce na infinitesimální deformaci) jsou shrnuty v části Princip virtuální práce. Za předpokladů infinitesimálních deformací a lineární elasticity má slabá forma tvar

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{na} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Dosazením konstitutivní rovnice \eqref{eq:2.1.5} a zápisem \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ve Voigtově zápisu dostaneme tvar používaný přímo pro diskretizaci:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

kde \(D\) je elastická matice definovaná v části Lineární elasticita. Rovnice \eqref{eq:2.1.10} a \eqref{eq:2.1.7} tvoří princip virtuální práce, který je níže diskretizován.

Diskretizace a sestavení globální rovnice

Diskretizací principu virtuální práce v rovnici \( \eqref{eq:2.1.10} \) přes konečné prvky dostaneme

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Pro každý prvek se pole posunutí interpoluje pomocí posunutí uzlů tvořících prvek následujícím způsobem.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Přetvoření je poté pomocí rovnice \(\eqref{eq:2.1.4}\) dáno následovně.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Dosazením rovnic \(\eqref{eq:2.1.12}\) a \(\eqref{eq:2.1.13}\) do rovnice \(\eqref{eq:2.1.11}\) dostaneme

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Rovnici \(\eqref{eq:2.1.14}\) lze zapsat jako

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Zde lze složky matice a vektoru definované rovnicemi \(\eqref{eq:2.1.16}\) a \(\eqref{eq:2.1.17}\) vypočítat pro každý konečný prvek a sestavit superpozicí.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Protože rovnice \(\eqref{eq:2.1.15}\) platí pro libovolné virtuální posunutí \(\delta \boldsymbol{U}\), dostaneme následující rovnici.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Okrajová podmínka posunutí v rovnici \(\eqref{eq:2.1.3}\) je mezitím vyjádřena následovně.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Vyřešením rovnice \(\eqref{eq:2.1.18}\) při splnění podmínky omezení v rovnici \(\eqref{eq:2.1.19}\) lze určit uzlové posunutí \(\boldsymbol{U}\).

Viz také