Tečení

Tato kapitola popisuje konstitutivní zákon tečení používaný v FrontISTR. Podrobnosti o volbě a vstupních specifikacích viz část funkcí 03_material.

Fenomén tečení a aditivní rozklad přetvoření

Časově závislé posunutí při konstantním napětí je jev nazývaný „tečení“.

Výše popsané viskoelastické chování lze rovněž považovat za druh lineárního tečení. Zde je popsáno několik nelineárních chování při tečení. Běžným přístupem je formulovat konstitutivní vztah přidáním tohoto chování k přetvoření, které vzniká okamžitě, a přetvoření akumulované během působení daného konstantního zatížení definovat jako přetvoření z tečení \(\varepsilon^c\). Konstitutivní vztah zahrnující tečení se obvykle vyjadřuje pomocí rychlosti přetvoření z tečení \(\dot{\varepsilon}^c\), definované jako funkce napětí a celkového přetvoření z tečení.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Je-li okamžitě vznikající přetvoření elastické přetvoření \(\varepsilon^e\), vyjadřuje se celkové přetvoření následujícím součtem zahrnujícím přetvoření z tečení.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

kde

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) je tenzor pružnosti).

Nortonův zákon

Jako konkrétní konstitutivní zákon tečení používá FrontISTR následující Nortonův model. V tomto konstitutivním zákonu se ekvivalentní rychlost přetvoření z tečení \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) vyjadřuje jako funkce von Misesova napětí \(q\) a času \(t\) následovně.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Zde jsou \(A\), \(m\) a \(n\) materiálové konstanty.

Časová integrace a aktualizace napětí

Stejně jako u plastických materiálů musí být pro konstitutivní zákon vykazující tečení zadána numerická metoda časové integrace. Konstitutivní vztah při zohlednění tečení je

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

kde \(\beta_{n+\theta}\) je

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Přírůstek přetvoření z tečení \(\Delta \varepsilon^c\) je poté definován následující zjednodušenou nelineární rovnicí:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

která se položí rovna nule.

V Newtonově-Raphsonově iteraci, při volbě \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) jako počátečního napětí a použití přírůstku přetvoření získaného metodou konečných prvků, jsou iterativní řešení a přírůstek dány

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

kde

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

definujeme. Při iteraci, dokud reziduum \(R\) nedosáhne \(\mathbf{0}\), se používá napětí \(\sigma_{n+1}\) a tečný modul

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

se použijí.

Související témata

• Viskoelasticita — Viskoelastické chování odpovídající lineárnímu tečení
• Tečná matice tuhosti — Tečná tuhost pro přírůstkovou analýzu zahrnující tečení
• Data materiálu (funkce) — Specifikace parametrů Nortonova modelu