Napětí a zákony zachování¶

Tato kapitola uspořádává definice a vzájemné vztahy tenzorů napětí spolu s rovnicemi rovnováhy a symetrií napětí odvozenými ze zákonů zachování hmoty, lineární hybnosti a momentu hybnosti. Tři tenzory napětí—Cauchyho napětí \(\boldsymbol{\sigma}\), první Piolovo-Kirchhoffovo napětí \(\boldsymbol{P}\) a druhé Piolovo-Kirchhoffovo napětí \(\boldsymbol{S}\)—jsou zavedeny podle toho, která konfigurace se používá pro referenční plochu a vektor síly. Definice konfigurace, pohybu a gradientu deformace jsou uvedeny v části Pohyb, deformace a přetvoření a seznam symbolů v části Seznam symbolů fyzikálních veličin.

Cauchyho tenzor napětí¶

Nechť \(d\boldsymbol{f}\) je síla působící na infinitezimální plošku v bodě \(\boldsymbol{x}\) v aktuální konfiguraci (plocha \(d\Gamma\), vnější jednotková normála \(\boldsymbol{n}\)) a definujme vektor trakce \(\boldsymbol{t}\) jako sílu na jednotku plochy vztahem \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) závisí jak na poloze \(\boldsymbol{x}\), tak na normále \(\boldsymbol{n}\). Aplikace zákona zachování hybnosti na infinitezimální čtyřstěn ukazuje, že \(\boldsymbol{t}\) je lineární v \(\boldsymbol{n}\), takže existuje tenzor druhého řádu \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) takový, že

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

pro libovolné \(\boldsymbol{n}\) (Cauchyho věta o napětí). Tento tenzor \(\boldsymbol{\sigma}\) se nazývá Cauchyho tenzor napětí a také skutečné napětí, protože představuje sílu na jednotku plochy měřenou vzhledem ke geometrii aktuální konfigurace. Složka \(\sigma_{ij}\) představuje složku ve směru \(x_i\) síly na jednotku plochy působící na infinitezimální plošku kolmou k souřadnicové ose \(x_j\) v aktuální konfiguraci.

Jak bude dále ukázáno ze zákona zachování momentu hybnosti, Cauchyho napětí je symetrický tenzor:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Ve třech rozměrech má proto šest nezávislých složek (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vektorizace napětí ve Voigtově notaci tuto symetrii předpokládá (viz Tenzorová notace a matematické základy). Cauchyho napětí se používá pro výstup napětí v geometricky nelineární analýze FrontISTR metodou Updated Lagrange a v analýze malých deformací.

První a druhé Piolovo-Kirchhoffovo napětí¶

Při konečné deformaci je často výhodné vyjadřovat napětí vzhledem k plochám a vektorům v referenční konfiguraci, proto se zavádějí dva Piolovy-Kirchhoffovy tenzory napětí. Nechť plocha infinitezimální plošky v referenční konfiguraci je \(d\Gamma_0\) a její vnější jednotková normála \(\boldsymbol{N}\).

První Piolovo-Kirchhoffovo napětí (první PK napětí, nominální napětí) \(\boldsymbol{P}\) je definováno jako tenzor napětí získaný tehdy, když síla \(d\boldsymbol{f}\) v aktuální konfiguraci působí na infinitezimální plošku v referenční konfiguraci:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Použitím Nansonova vztahu \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) spolu s Cauchyho větou o napětí získáme vztah k Cauchyho napětí

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

První PK napětí je obecně nesymetrické.

Druhé Piolovo-Kirchhoffovo napětí (druhé PK napětí) \(\boldsymbol{S}\) je definováno jako tenzor napětí získaný zpětným převedením síly \(d\boldsymbol{f}\) z aktuální konfigurace do referenční konfigurace pomocí \(\boldsymbol{F}^{-1}\) a jejím vztažením k infinitezimální plošce v referenční konfiguraci:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Vektor síly i plocha, na kterou působí, jsou vyjádřeny veličinami referenční konfigurace, takže tento tenzor je invariantní vůči rotaci tuhého tělesa a je symetrický. Jeho vztah k prvnímu PK napětí a transformace z Cauchyho napětí jsou

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Druhé PK napětí se odvozuje z hyperelastické funkce deformační energie \(W(\boldsymbol{C})\) jako \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) a v metodě Total Lagrange se používá společně s Greenovým-Lagrangeovým přetvořením \(\boldsymbol{E}\) jako energeticky sdružená dvojice \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Referenční konfigurace a vlastnosti symetrie jsou shrnuty níže. V limitě malých deformací (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) se všechna tři napětí shodují.

Tenzor napětí	Referenční plocha	Vektor síly	Symetrie	Použití
Cauchyho napětí \(\boldsymbol{\sigma}\)	Aktuální konfigurace \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Aktuální konfigurace \(d\boldsymbol{f}\)	Symetrické	Metoda Updated Lagrange / analýza malých deformací
První PK napětí \(\boldsymbol{P}\)	Referenční konfigurace \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Aktuální konfigurace \(d\boldsymbol{f}\)	Obecně nesymetrické	Rovnice rovnováhy v referenční konfiguraci
Druhé PK napětí \(\boldsymbol{S}\)	Referenční konfigurace \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Referenční konfigurace \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Symetrické	Metoda Total Lagrange / hyperelasticita

Zachování hmoty a hybnosti a rovnice rovnováhy¶

Nechť \(\rho\) je objemová hmotnost v aktuální konfiguraci a \(\rho_0\) objemová hmotnost v referenční konfiguraci. Zákon zachování hmoty \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) se spolu s transformací objemového elementu \(dv = J\, dV\) redukuje na lokální tvar

\[ \rho_0 = J \rho \]

Toto je lokální vztah zachování hmoty.

Nechť \(\boldsymbol{g}\) je objemová síla na jednotku hmotnosti a \(\boldsymbol{a}\) zrychlení. Aplikací Cauchyho věty o napětí a Gaussovy věty o divergenci na zákon zachování lineární hybnosti (první Eulerův pohybový zákon) získáme lokální rovnici rovnováhy (pohybovou rovnici) v aktuální konfiguraci:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Přepsáním integrálu v referenční konfiguraci pomocí Nansonova vztahu a \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) získáme lokální tvar v referenční konfiguraci:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Oba tvary jsou ekvivalentní prostřednictvím transformačního vztahu napětí a \(\rho_0 = J\rho\). Zanedbáním setrvačného členu získáme

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

což je rovnice statické rovnováhy a výchozí bod statické analýzy FrontISTR (lineární i nelineární).

Zachování momentu hybnosti a symetrie napětí¶

Kombinací zákona zachování momentu hybnosti (druhého Eulerova pohybového zákona) s rovnicí rovnováhy odvozenou ze zákona zachování lineární hybnosti získáme symetrii Cauchyho tenzoru napětí:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Ve třech rozměrech má tedy šest nezávislých složek. Transpozicí obou stran transformace \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) a využitím regularity \(\boldsymbol{F}\) lze ukázat, že druhé PK napětí je také symetrické:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

a má tedy rovněž šest nezávislých složek. Naproti tomu první PK napětí \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) obecně symetrické není; platí pouze vztah \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (tj. \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) je symetrické) a má devět nezávislých složek.

Tyto symetrie jsou základem pro vyjádření napětí jako šestikomponentního vektoru ve Voigtově notaci. Konvence Voigtovy notace a konstrukci materiálových matic naleznete v částech Tenzorová notace a matematické základy a Lineární elasticita.