Přeskočit obsah

Rovnice vedení tepla

Tato kapitola shrnuje na úrovni kontinua řídicí rovnici vedení tepla řešenou FrontISTR a její okrajové podmínky. Časová diskretizace a diskretizace metodou konečných prvků jsou ponechány části o diskretizaci (L3d) a části o algoritmu řešení (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Řídicí rovnice

Rovnice vedení tepla v kontinuu je dána následovně.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Zde \(\rho=\rho(x)\) označuje hustotu hmotnosti, \(c=c(x,T)\) měrnou tepelnou kapacitu, \(T=T(x,t)\) teplotu, \(k=k(x,T)\) tepelnou vodivost, \(Q=Q(x,T,t)\) vývin tepla, \(x\) polohu a \(t\) čas. \(k_x, k_y, k_z\) jsou tepelné vodivosti v příslušných směrech při anizotropním vedení tepla.

Konkrétní tepelné vlastnosti včetně teplotní závislosti a anizotropie viz Tepelné vlastnosti.

Okrajové podmínky

Uvažovanou oblast označme \(S\) a její hranici \(\Gamma\). Za předpokladu, že je na celé \(\Gamma\) předepsána buď Dirichletova, nebo Neumannova okrajová podmínka, jsou okrajové podmínky dány následovně.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]
\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Zde se předpokládá, že funkční tvary \(T_1\) a \(q\) jsou známy. \(q\) je tepelný tok opouštějící hranici. Okrajový tepelný tok \(q\) se skládá z následujících tří složek.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]
\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Zde \(q_s\) je rozložený tepelný tok, \(q_c\) je tepelný tok způsobený konvekčním přestupem tepla a \(q_r\) je tepelný tok způsobený sáláním.

Dále \(Tc=Tc(x,t)\) je teplota okolí pro konvekční přestup tepla, \(hc=hc(x,t)\) je součinitel konvekčního přestupu tepla, \(Tr=Tr(x,t)\) je teplota okolí pro sálání, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) je součinitel přestupu tepla sáláním, \(\varepsilon\) je emisivita, \(\sigma\) je Stefan-Boltzmannova konstanta a \(F\) je činitel pohledu.

Způsob zadání těchto podmínek ve vstupním souboru viz Okrajové podmínky a zatížení v referenční příručce funkcí.

Slabá forma

Vazba se strukturální analýzou

Související témata

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status