Přeskočit obsah

Hyperelasticita

Tato kapitola popisuje hyperelastické konstitutivní zákony podporované ve FrontISTR. Podrobnosti o volbě modelu a specifikaci vstupu viz část funkcí 03_material.

Jev (vratná odezva při velkých deformacích)

TBD (bude dopracováno do plného textu v další fázi).

Konstitutivní rámec

Pro izotropní hyperelastický materiál se elastická potenciální energie získává z izotropní odezvy počínaje počátečním stavem bez napětí a lze ji vyjádřit jako funkci pravého Cauchyho-Greenova tenzoru deformace \(C\), jeho hlavních invariantů \((I_1, I_2, I_3)\) nebo hlavních invariantů \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) tenzoru deformace s odstraněnou objemovou změnou, tedy jako \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) nebo \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Konstitutivní rovnice hyperelastického materiálu je definována vztahem mezi druhým Piolovým-Kirchhoffovým napětím a Greenovým-Lagrangeovým přetvořením a pro analýzu deformace se používá metoda Total Lagrange.

Je-li známa elastická potenciální energie \(W\), lze druhé Piolovo-Kirchhoffovo napětí a vztah napětí–přetvoření vypočítat následovně.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Elastické potenciální energie \(W\) hyperelastických modelů použitých ve FrontISTR jsou uvedeny níže.

Neo-Hookeův hyperelastický model

Neo-Hookeův hyperelastický model rozšiřuje izotropní lineární zákon (Hookeův zákon) tak, aby jej bylo možné použít pro úlohy s velkými deformacemi. Jeho elastický potenciál je následující.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Zde jsou \(C_{10}\) a \(D\) materiálové konstanty.

Mooneyho-Rivlinův hyperelastický model

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Zde jsou \(C_{10}\), \(C_{01}\) a \(D\) materiálové konstanty.

Anizotropní Mooneyho-Rivlinův hyperelastický model

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Zde jsou \(C_{10}\), \(C_{01}\) a \(D\) materiálové konstanty společné s izotropním modelem, zatímco \(C_{42}\) a \(C_{43}\) jsou materiálové konstanty specifické pro anizotropii.

Arrudův-Boyceův hyperelastický model

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Zde jsou \(\mu_0\), \(\lambda_m\) a \(D\) materiálové konstanty.

Související témata

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status