Bỏ qua

Siêu đàn hồi

Chương này trình bày các quan hệ cấu thành siêu đàn hồi được FrontISTR hỗ trợ. Về chi tiết lựa chọn mô hình và quy cách đầu vào, xem phần chức năng 03_material.

Hiện tượng (đáp ứng biến dạng lớn có thể hồi phục)

TBD (sẽ được phát triển thành nội dung đầy đủ trong giai đoạn tiếp theo).

Khuôn khổ cấu thành

Đối với vật liệu siêu đàn hồi đẳng hướng, năng lượng thế đàn hồi được xác định từ đáp ứng đẳng hướng bắt đầu từ trạng thái ban đầu không ứng suất, và có thể được biểu diễn dưới dạng hàm của các bất biến chính \((I_1, I_2, I_3)\) của tensor biến dạng Cauchy-Green phải \(C\), hoặc của các bất biến chính \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) của tensor biến dạng đã loại bỏ biến đổi thể tích, tức là dưới dạng \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) hoặc \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Phương trình cấu thành của vật liệu siêu đàn hồi được xác định bởi quan hệ giữa ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai và biến dạng Green-Lagrange, và phương pháp Lagrange toàn phần được áp dụng cho phân tích biến dạng.

Khi đã biết năng lượng thế đàn hồi \(W\), ứng suất Piola-Kirchhoff thứ hai và quan hệ ứng suất-biến dạng có thể được tính như sau.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]
\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Các năng lượng thế đàn hồi \(W\) của các mô hình siêu đàn hồi được FrontISTR sử dụng được liệt kê dưới đây.

Mô hình siêu đàn hồi Neo-Hookean

Mô hình siêu đàn hồi Neo-Hookean mở rộng định luật tuyến tính đẳng hướng (định luật Hooke) để có thể áp dụng cho các bài toán biến dạng lớn. Năng lượng thế đàn hồi của mô hình như sau.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Ở đây, \(C_{10}\) và \(D\) là các hằng số vật liệu.

Mô hình siêu đàn hồi Mooney-Rivlin

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Ở đây, \(C_{10}\), \(C_{01}\) và \(D\) là các hằng số vật liệu.

Mô hình siêu đàn hồi dị hướng Mooney-Rivlin

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Ở đây, \(C_{10}\), \(C_{01}\) và \(D\) là các hằng số vật liệu chung với mô hình đẳng hướng, còn \(C_{42}\) và \(C_{43}\) là các hằng số vật liệu riêng cho tính dị hướng.

Mô hình siêu đàn hồi Arruda-Boyce

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]
\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Ở đây, \(\mu_0\), \(\lambda_m\) và \(D\) là các hằng số vật liệu.

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status