Phân tích trị riêng¶

Bài toán trị riêng tổng quát¶

Khi phân tích dao động tự do của môi trường liên tục, hệ được rời rạc hóa trong không gian và mô hình hóa thành hệ nhiều bậc tự do với các khối lượng tập trung như trong Hình 2.3.1. Đối với bài toán dao động tự do không cản, phương trình chi phối (phương trình chuyển động) là

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Trong đó, $u$ là vectơ chuyển vị tổng quát, $M$ là ma trận khối lượng và $K$ là ma trận độ cứng. Đặt tần số góc riêng là $\omega$, $a$, $b$, $c$ là các hằng số tùy ý và $x$ là một vectơ, ta định nghĩa hàm

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Khi đó, biểu thức này và đạo hàm bậc hai của nó, tức là

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Thay chúng vào phương trình $\eqref{eq:2.3.1}$, ta có

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Do đó,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

thu được.

Nói cách khác, nếu tìm được hệ số $\lambda = \omega^2$ và vectơ $x$ thỏa phương trình $\eqref{eq:2.3.5}$, thì hàm $u(t)$ là nghiệm của phương trình $\eqref{eq:2.3.1}$.

Hệ số $\lambda$ được gọi là trị riêng, vectơ $x$ được gọi là vectơ riêng, và bài toán tìm chúng từ phương trình $\eqref{eq:2.3.1}$ được gọi là bài toán trị riêng tổng quát.

Ví dụ về hệ nhiều bậc tự do dao động tự do không cản

Hình 2.3.1　Ví dụ về hệ nhiều bậc tự do dao động tự do không cản

Tính chất và giả thiết của ma trận¶

Đối với bài toán trị riêng tổng quát $K x = \lambda M x$ thu được ở phần trước, tài liệu này giả thiết các tính chất ma trận sau. Các giả thiết này là tiền đề cho tính hội tụ và phạm vi áp dụng của phương pháp lặp nghịch đảo có dịch và phương pháp Lanczos ở các phần sau. Cụ thể, đối với ma trận phức, ma trận chuyển vị là liên hợp phức; đối với ma trận thực, đó là ma trận đối xứng. Nếu thành phần $ij$ của ma trận $K$ là $k_{ij}$, và ký hiệu liên hợp phức của $k$ là $\bar{k}$, thì

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

có quan hệ trên.

Trong tài liệu này, ma trận được giả thiết là đối xứng và xác định dương. Xác định dương nghĩa là mọi trị riêng đều dương; tương đương, ma trận luôn thỏa phương trình $\eqref{eq:2.3.7}$ dưới đây.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Phương pháp lặp nghịch đảo có dịch¶

Trong phân tích kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn, trên thực tế thường không cần tất cả các trị riêng mà chỉ cần vài trị riêng bậc thấp. HEC-MW được thiết kế cho các bài toán quy mô lớn, nên ma trận có kích thước lớn và rất thưa (có nhiều phần tử bằng không). Vì vậy, điều quan trọng là tìm hiệu quả các trị riêng của các mode bậc thấp.

Khi đặt cận dưới của trị riêng là $\sigma$, phương trình $\eqref{eq:2.3.5}$ được biến đổi thành dạng sau (tương đương về mặt toán học).

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Biến đổi này có các tính chất thuận lợi sau cho tính toán.

Thứ tự các mode bị đảo ngược.
Các trị riêng quanh $\rho$ được làm lớn nhất.

Trong tính toán thực tế, trị riêng lớn nhất thường được tìm thấy trước. Vì vậy, phép tính hội tụ chính được áp dụng cho phương trình $\eqref{eq:2.3.8}$ thay vì $\eqref{eq:2.3.5}$, nhằm tìm trước các trị riêng quanh $\rho$. Phương pháp này được gọi là lặp nghịch đảo có dịch.

Phương pháp Lanczos¶

Lý do lựa chọn (so sánh với phương pháp Jacobi)¶

Trong các phương pháp cổ điển, phương pháp Jacobi được biết đến rộng rãi.

Phương pháp này hiệu quả khi ma trận có kích thước nhỏ và là ma trận đặc. Tuy nhiên, do các ma trận trong HEC-MW có quy mô lớn và thưa, phương pháp này không được sử dụng; thay vào đó dùng phương pháp lặp Lanczos.

Thuật toán và đặc điểm¶

Phương pháp do C. Lanczos đề xuất vào thập niên 1950 là một thuật toán đưa ma trận về dạng ba đường chéo và có các đặc điểm sau.

Là phương pháp lặp hội tụ và có thể tính toán trong khi giữ ma trận ở dạng thưa.
Thuật toán chủ yếu gồm các phép nhân ma trận-vectơ nên phù hợp cho song song hóa.
Phù hợp với phân hoạch miền hình học gắn với lưới phần tử hữu hạn.
Có thể giới hạn số trị riêng hoặc phạm vi mode cần tìm để tính toán hiệu quả.

Phương pháp Lanczos bắt đầu từ một vectơ ban đầu, lần lượt tạo các vectơ trực giao và tìm cơ sở của không gian con. Phương pháp này được cho là nhanh hơn phương pháp không gian con, một phương pháp lặp khác, và được sử dụng rộng rãi trong các chương trình phần tử hữu hạn. Tuy nhiên, phương pháp dễ bị ảnh hưởng bởi sai số số học của máy tính, có thể làm mất tính trực giao của các vectơ và dẫn đến hỏng quá trình tính. Do đó, biện pháp xử lý sai số là không thể thiếu.

Ý nghĩa hình học (không gian con Krylov)¶

Bằng cách đổi biến trong phương trình $\eqref{eq:2.3.8}$ như sau,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

viết lại bài toán ta được

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

thu được.

Thực hiện phép biến đổi tuyến tính bằng ma trận $A$ đối với một vectơ thích hợp $q_0$ (xem Hình 2.3.2).

$Phép biến đổi tuyến tính của $q_0$ bằng ma trận $A$$

Hình 2.3.2　Phép biến đổi tuyến tính của $q_0$ bằng ma trận $A$

Vectơ sau biến đổi được trực giao hóa trong không gian tạo bởi nó và vectơ ban đầu. Nói cách khác, thực hiện phép trực giao hóa Gram-Schmidt như trong Hình 2.3.2. Gọi vectơ thu được là $r_1$, chuẩn hóa nó (đưa độ dài về 1) để thu được $q_1$ (Hình 2.3.3). Theo cùng thuật toán, từ $q_1$ thu được $q_2$. Khi đó $q_2$ trực giao với cả $q_1$ và $q_0$ (Hình 2.3.4). Tiếp tục phép tính tương tự sẽ thu được các vectơ trực giao lẫn nhau, tối đa đến bậc của ma trận.

$Vectơ $q_1$ trực giao với $q_0$$

Hình 2.3.3　 Vectơ $q_1$ trực giao với $q_0$

$Vectơ $q_2$ trực giao với $q_1$ và $q_0$$

Hình 2.3.4　 Vectơ $q_2$ trực giao với $q_1$ và $q_0$

Đặc biệt, thuật toán Lanczos là phép trực giao hóa Gram-Schmidt đối với dãy vectơ $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

hay nói cách khác là $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

bằng phương pháp Gram-Schmidt. Dãy vectơ này được gọi là dãy Krylov, và không gian do nó sinh ra được gọi là không gian con Krylov. Khi thực hiện trực giao hóa Gram-Schmidt trong không gian này, vectơ tiếp theo có thể được xác định bằng hai vectơ gần nhất. Đây được gọi là nguyên lý Lanczos.

Ba đường chéo hóa¶

Trong phép lặp trên, bước tính thứ i+1 được viết là

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

trong đó

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Viết dưới dạng ma trận, ta có

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

Trong đó,

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Do đó, các trị riêng được thu bằng cách tính trị riêng của ma trận ba đường chéo thu được từ phương trình $\eqref{eq:2.3.13}$.

Các mục liên quan¶

Phân tích đáp ứng tần số — Đáp ứng tần số sử dụng kết quả phân tích trị riêng
Loại phân tích — Tổng quan chức năng phân tích trị riêng