Bỏ qua

Đàn dẻo

Chương này trình bày khuôn khổ quan hệ cấu thành đàn dẻo được FrontISTR sử dụng. Về cách lựa chọn và chi tiết chỉ định đầu vào, xem phần chức năng 03_material.

Hiện tượng (biến dạng dẻo)

Sẽ được bổ sung nội dung trong giai đoạn tiếp theo.

Khuôn khổ quan hệ cấu thành

FrontISTR sử dụng quan hệ cấu thành đàn dẻo theo quy tắc chảy liên kết. Quan hệ cấu thành này biểu diễn quan hệ giữa tốc độ Jaumann của ứng suất Kirchhoff và tensor tốc độ biến dạng; phân tích biến dạng sử dụng phương pháp updated Lagrange.

Giả sử điều kiện chảy của vật liệu đàn dẻo được cho như sau.

Điều kiện chảy ban đầu:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Điều kiện chảy tiếp theo:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

Trong đó,

  • \(F\): hàm chảy
  • \(\sigma_{y_0}\): ứng suất chảy ban đầu
  • \(\sigma_y\): ứng suất chảy tiếp theo
  • \(\sigma\): tensor ứng suất
  • \(e\): tensor biến dạng nhỏ
  • \(e^p\): tensor biến dạng dẻo
  • \(\overline{e}^p\): biến dạng dẻo tương đương

Giả sử quan hệ ứng suất chảy–biến dạng dẻo tương đương trùng với quan hệ ứng suất–biến dạng dẻo trong trạng thái một trục.

Quan hệ ứng suất–biến dạng dẻo trong trạng thái một trục

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

Ở đây, \(H'\) là mô đun hóa bền biến dạng.

Quan hệ ứng suất tương đương–biến dạng dẻo tương đương

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Hàm chảy tiếp theo nói chung là hàm của nhiệt độ và công biến dạng dẻo, nhưng để đơn giản ở đây giả sử nó chỉ là hàm của biến dạng dẻo tương đương \(\overline{e}^p\). Trong quá trình biến dạng dẻo, \(F = 0\) phải luôn được thỏa mãn, do đó phương trình sau phải đúng.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Ở đây \(\dot{F}\) biểu diễn đạo hàm theo thời gian của \(F\); từ đây, đạo hàm theo thời gian của một đại lượng \(A\) được ký hiệu là \(\dot{A}\).

Giả sử tồn tại thế dẻo \(\Theta\), và biểu diễn tốc độ biến dạng dẻo bằng phương trình sau.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Ở đây \(\dot{\lambda}\) là một hệ số.

Tiếp theo, giả sử thế dẻo \(\Theta\) bằng hàm chảy \(F\) và áp dụng quy tắc chảy liên kết sau.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Thay phương trình này vào điều kiện tương thích, ta thu được phương trình sau.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Ở đây \(D\) là ma trận đàn hồi,

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Quan hệ ứng suất–biến dạng đàn dẻo có thể viết như sau.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Khi đã biết hàm chảy \(F\) của vật liệu đàn dẻo, có thể suy ra quan hệ cấu thành từ phương trình này.

Hàm chảy

Dưới đây liệt kê các hàm chảy đàn dẻo được FrontISTR sử dụng.

Hàm chảy Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Ở đây \(J_2\) là bất biến thứ hai của tensor ứng suất lệch.

Hàm chảy Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Ở đây \(\sigma_1, \sigma_3\) lần lượt là ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất, \(c\) là lực dính, và \(\phi\) là góc ma sát trong.

Hàm chảy Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Ở đây, các hằng số vật liệu \(\alpha\) và \(\sigma_y\) được tính từ lực dính và góc ma sát của vật liệu như sau.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Các mục liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status