Bỏ qua

Công thức phần tử nâng cao

Công thức chuẩn dựa trên chuyển vị được trình bày trong Công thức phần tử khối 3D có thể xuất hiện độ cứng nhân tạo quá lớn, gọi là hiện tượng khóa (khóa thể tích hoặc khóa cắt), khi áp dụng cho vật liệu gần như không nén được hoặc kết cấu thành mỏng chi phối bởi uốn. Để tránh hiện tượng này, FrontISTR cung cấp các phương pháp B-bar và F-bar, chỉ thay thế phần thể tích của ma trận B hoặc gradient biến dạng; các phần tử không tương thích có bậc tự do nội bộ; các phần tử hỗn hợp u-p coi áp suất là một trường ẩn độc lập; cùng các phần tử vỏ MITC và phần tử dầm chuyên biệt cho kết cấu tấm và dầm.

Chương này tóm tắt công thức của các phần tử nâng cao và phần tử kết cấu này theo từng loại phần tử.

Phương pháp B-bar

Khi sử dụng phần tử lục diện tuyến tính 8 nút cho vật liệu gần như không nén được, trường biến dạng trong một phần tử có thể xung đột với ràng buộc thể tích không đổi, tạo ra độ cứng quá lớn gọi là khóa thể tích. Phương pháp B-bar làm giảm tình trạng ràng buộc quá mức này bằng cách thay thế các thành phần của ma trận B góp phần vào giãn nở thể tích bằng các giá trị được đánh giá tại tâm phần tử [Hughes1980].

Tại tâm phần tử \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), gọi ma trận B tính từ các đạo hàm không gian của hàm dạng là \(\bar{\boldsymbol{B}}\); tại điểm tích phân \(\boldsymbol{r}\), gọi ma trận B thông thường là \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Trong quan hệ chuyển vị-biến dạng cho nút \(\alpha\) và bậc tự do \(i\), các thành phần biến dạng thể tích \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) được hiệu chỉnh bằng cách cộng thêm

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Đối với các thành phần biến dạng cắt \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), ma trận \(\boldsymbol{B}\) thông thường được sử dụng. Độ cứng phần tử và vectơ nội lực được lắp ráp bằng ma trận B-bar thu được.

FrontISTR cung cấp công thức này riêng cho phần tử lục diện tuyến tính 8 nút (ID phần tử 361; xem Hệ thống đánh số phần tử), và có thể áp dụng cho các công thức biến dạng nhỏ, Lagrange toàn phần và Lagrange cập nhật.

Phương pháp F-bar

Trong biến dạng hữu hạn, biến đổi thể tích đi vào phi tuyến thông qua gradient biến dạng \(\boldsymbol{F}\). Phương pháp F-bar [deSouzaNeto1996] áp dụng xử lý khóa thể tích tương tự phương pháp B-bar ở cấp gradient biến dạng.

Gọi tỷ số thể tích của gradient biến dạng được đánh giá tại tâm phần tử \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) là \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), và tỷ số thể tích tại một điểm tích phân là \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Gradient biến dạng tại điểm tích phân được thay bằng

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Khi đó \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), nên tỷ số thể tích trên toàn phần tử được đồng nhất với giá trị tại tâm phần tử. \(\bar{\boldsymbol{F}}\) đã thay thế được dùng để đánh giá ứng suất và xây dựng ma trận biến dạng-chuyển vị, còn độ cứng tiếp tuyến phần tử bao gồm các hạng bổ sung liên quan đến phép thay thế này.

FrontISTR triển khai phương pháp F-bar riêng cho phần tử lục diện tuyến tính 8 nút, và có thể áp dụng cho biến dạng nhỏ cũng như hình học phi tuyến Lagrange toàn phần / Lagrange cập nhật.

Phần tử không tương thích

Phần tử lục diện tuyến tính 8 nút thiếu các dạng biến dạng cần thiết cho uốn và xuất hiện khóa uốn trong các bài toán chi phối bởi uốn. Phần tử không tương thích [Taylor1976] đưa thêm các dạng chuyển vị bên trong phần tử để bù cho thiếu sót này.

Ngoài các chuyển vị nút phần tử \(\boldsymbol{u}^e\), các bậc tự do dạng không tương thích \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) chỉ tồn tại bên trong phần tử được đưa vào với 3 phương × 3 dạng cho mỗi phần tử, và trường chuyển vị được xấp xỉ như

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Đối với tọa độ tự nhiên \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), các hàm dạng không tương thích được lấy là \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) và \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Chúng không bảo đảm tính liên tục qua biên phần tử, nhưng bổ sung một không gian nội bộ có khả năng tái hiện các biến dạng liên quan đến dạng uốn.

Ma trận độ cứng phần tử trước tiên được lắp ráp ở dạng khối bậc tự do ngoài/bậc tự do trong

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Sau khi lắp ráp ở dạng này, phép ngưng tụ tĩnh khử các bậc tự do trong bằng \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), thu được ma trận độ cứng phần tử chỉ liên quan đến các bậc tự do ngoài

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

và được chuyển sang lắp ráp toàn cục.

FrontISTR triển khai phần tử không tương thích riêng cho phần tử lục diện tuyến tính 8 nút (C3D8IC), và có thể áp dụng cho các công thức biến dạng nhỏ, Lagrange toàn phần và Lagrange cập nhật.

Phần tử hỗn hợp U-P

Trong khi các phương pháp B-bar và F-bar hiệu chỉnh thành phần thể tích trong khuôn khổ dựa trên chuyển vị, phần tử hỗn hợp u-p (U-P) sử dụng công thức hỗn hợp [Bathe1996], đưa áp suất \(\lambda\) vào như một trường ẩn độc lập với chuyển vị. Đối với các vật liệu gần như không nén được, chẳng hạn vật liệu giống cao su có hệ số Poisson cực kỳ gần 0.5 hoặc kim loại sau biến dạng dẻo, việc áp đặt ràng buộc thể tích không đổi chỉ bằng trường chuyển vị gây khóa thể tích; coi áp suất là một biến độc lập sẽ nới lỏng ràng buộc này.

Ứng suất được tách thành thành phần lệch và thành phần áp suất như

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Ở đây, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) là ma trận đàn hồi lệch thu được bằng cách loại khỏi ma trận đàn hồi phần thể tích tỷ lệ với mô đun thể tích \(K\). Áp suất \(\lambda\) và biến dạng thể tích \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) liên hệ với nhau bởi ràng buộc thông qua độ nén \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Rời rạc hóa với chuyển vị \(\boldsymbol{u}\) và áp suất \(\lambda\) làm ẩn số cho hệ liên hợp phần tử

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

trong đó \(\mathbf{K}_{uu}\) chứa đóng góp đàn hồi lệch và, đối với biến dạng hữu hạn, độ cứng hình học; \(\mathbf{K}_{up}\) liên kết biến dạng thể tích và áp suất; còn \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) là hạng ổn định áp suất (\(\boldsymbol{N}_p\) là hàm dạng áp suất). Vì các bậc tự do áp suất là nội bộ của phần tử,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

phép ngưng tụ tĩnh được thực hiện ở dạng này, và ma trận độ cứng hiệu dụng chỉ liên quan đến các bậc tự do ngoài (chuyển vị) được chuyển sang lắp ráp toàn cục.

FrontISTR triển khai phần tử U-P riêng cho phần tử lục diện tuyến tính 8 nút, với một bậc tự do áp suất cho mỗi phần tử (không đổi trong phần tử). Có thể áp dụng cho các công thức biến dạng nhỏ, Lagrange toàn phần và Lagrange cập nhật. Trong Lagrange cập nhật, ứng suất lệch được cập nhật bằng tốc độ ứng suất khách quan (kiểu Jaumann/Hughes-Winget), sau đó áp suất \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) được áp đặt bằng giá trị thu được từ ngưng tụ tĩnh.

Phần tử vỏ

Các phần tử vỏ dựa trên lý thuyết tấm/vỏ Reissner-Mindlin được dùng cho kết cấu tấm và vỏ thành mỏng. Khi chiều dày giảm, các phần tử tấm/vỏ bậc thấp dựa trên chuyển vị đánh giá quá cao biến dạng cắt ngang theo cơ chế tương tự khóa thể tích (khóa cắt), khiến độ cứng đối với các dạng uốn tăng quá mức. Phương pháp MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] tránh vấn đề này bằng cách lấy mẫu lại chỉ các thành phần biến dạng cắt tại các điểm liên kết định trước trong phần tử và nội suy các giá trị lấy mẫu đó trở lại trên phần tử.

Các nút của phần tử vỏ MITC nằm trên mặt trung hòa, và mỗi nút có sáu bậc tự do: ba thành phần tịnh tiến và ba thành phần quay quanh hệ tọa độ pháp tuyến của mặt trung hòa. Độ cứng phần tử được đánh giá bằng tích phân Gauss ba chiều trên tọa độ tự nhiên của mặt trung hòa và theo chiều dày, còn chiều dày \(h\) được cung cấp như thuộc tính phần tử trong quá trình đánh giá quan hệ cấu thành.

FrontISTR cung cấp MITC3 (ID phần tử 731), MITC4 (741) và MITC9 (743), được biểu diễn bằng một lớp mặt trung hòa duy nhất, cũng như các phần tử vỏ phân lớp MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nút, 3 bậc tự do mỗi nút) và MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nút, 3 bậc tự do mỗi nút), với các nút bố trí thành hai lớp theo chiều dày. Trong các phần tử vỏ phân lớp, bậc tự do nút chỉ gồm ba thành phần tịnh tiến, còn các dạng uốn tương ứng với bậc tự do quay được biểu diễn bằng bố trí hai lớp.

Phần tử dầm

Các cấu kiện dạng đường như dầm chính và kết cấu khung được rời rạc hóa bằng phần tử dầm. FrontISTR sử dụng công thức dầm Timoshenko có xét biến dạng cắt và biểu diễn cả uốn lẫn cắt theo các bậc tự do tịnh tiến và quay.

Mỗi nút dầm có sáu bậc tự do: ba thành phần tịnh tiến và ba thành phần quay quanh trục dầm và các trục ngang. Độ cứng phần tử được đánh giá bằng tích phân số một chiều dọc theo trục dầm. Diện tích tiết diện \(A\) và mômen quán tính bậc hai diện tích \(I\) theo các phương uốn và xoắn được cung cấp như thuộc tính tiết diện dầm, và cùng với mô đun Young \(E\) và mô đun cắt \(G\) của vật liệu, chúng xác định độ cứng dọc trục, uốn, xoắn và cắt.

FrontISTR cung cấp phần tử dầm thẳng 2 nút (ID phần tử 611) và phần tử lai dầm-khối tứ diện 4 nút được biểu diễn bằng 3 nút (641, dùng bậc tự do hỗn hợp).

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status