Phân tích tĩnh đàn hồi tuyến tính (Giới thiệu)

Phần này trình bày công thức của phân tích tĩnh đàn hồi dựa trên lý thuyết biến dạng nhỏ. Quan hệ ứng suất-biến dạng được giả sử là đàn hồi tuyến tính. Chương này được viết như một phần giới thiệu để hiểu cấu trúc tổng thể của phân tích kết cấu bằng phần tử hữu hạn và được tổ chức thành một chương độc lập.

Để xem lý thuyết tổng quát về nguyên lý công ảo (dạng cấu hình hiện tại, dạng cấu hình ban đầu và phép rút gọn về biến dạng nhỏ), xem Nguyên lý công ảo; để biết chi tiết định luật cấu thành đàn hồi tuyến tính, xem Đàn hồi tuyến tính; để xem quy ước ký hiệu tensor và Voigt, xem Ký hiệu tensor và cơ sở toán học; để xem công thức tổng quát của biến dạng hữu hạn, xem Chuyển động, biến dạng và độ biến dạng; và để xem phương pháp giải bài toán phi tuyến, xem Ma trận độ cứng tiếp tuyến.

Phương trình cơ bản

Dưới các giả thiết biến dạng nhỏ và đàn hồi tuyến tính, bài toán giá trị biên trong cơ học vật rắn gồm phương trình cân bằng, điều kiện biên cơ học và điều kiện biên hình học (điều kiện biên thiết yếu) (xem Hình 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{trong} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{trên} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{trên} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Ở đây, \(\boldsymbol{\sigma}\) là ứng suất Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) là lực thể tích trên một đơn vị thể tích, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) là lực kéo bề mặt được cho trước, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) là chuyển vị được cho trước, và \(S_t, S_u\) lần lượt là biên cơ học và biên hình học.

Hình 2.1.1 Bài toán giá trị biên trong cơ học vật rắn (bài toán biến dạng nhỏ)

Sử dụng toán tử gradient đối xứng, quan hệ biến dạng-chuyển vị là

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Phương trình cấu thành đàn hồi tuyến tính là

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

trong đó \(\boldsymbol{C}\) là tensor đàn hồi bậc bốn.

Nguyên lý công ảo

Các dạng tổng quát của nguyên lý công ảo (dạng cấu hình hiện tại, dạng cấu hình ban đầu và phép rút gọn về biến dạng nhỏ) được tóm tắt trong Nguyên lý công ảo. Dưới các giả thiết biến dạng nhỏ và đàn hồi tuyến tính, dạng yếu là

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{trên} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Thay phương trình cấu thành \eqref{eq:2.1.5} và viết \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) theo ký hiệu Voigt, ta được dạng dùng trực tiếp cho rời rạc hóa:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

được thu được, trong đó \(D\) là ma trận đàn hồi được định nghĩa trong Đàn hồi tuyến tính. Các Phương trình \eqref{eq:2.1.10} và \eqref{eq:2.1.7} tạo thành nguyên lý công ảo được rời rạc hóa dưới đây.

Rời rạc hóa và lắp ráp phương trình tổng thể

Rời rạc hóa nguyên lý công ảo trong Phương trình \( \eqref{eq:2.1.10} \) trên các phần tử hữu hạn ta được

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Đối với mỗi phần tử, trường chuyển vị được nội suy bằng chuyển vị của các nút cấu thành phần tử như sau.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Sau đó biến dạng được cho bằng Phương trình \(\eqref{eq:2.1.4}\) như sau.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Thay các Phương trình \(\eqref{eq:2.1.12}\) và \(\eqref{eq:2.1.13}\) vào Phương trình \(\eqref{eq:2.1.11}\) ta được

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Phương trình \(\eqref{eq:2.1.14}\) có thể được viết thành

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Ở đây, các thành phần của ma trận và vectơ được định nghĩa bởi các Phương trình \(\eqref{eq:2.1.16}\) và \(\eqref{eq:2.1.17}\) có thể được tính cho từng phần tử hữu hạn và lắp ráp bằng phép chồng chất.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Vì Phương trình \(\eqref{eq:2.1.15}\) đúng với một chuyển vị ảo tùy ý \(\delta \boldsymbol{U}\), ta thu được phương trình sau.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Trong khi đó, điều kiện biên chuyển vị trong Phương trình \(\eqref{eq:2.1.3}\) được biểu diễn như sau.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Bằng cách giải Phương trình \(\eqref{eq:2.1.18}\) dưới điều kiện ràng buộc trong Phương trình \(\eqref{eq:2.1.19}\), có thể xác định chuyển vị nút \(\boldsymbol{U}\).

Xem thêm