Lineair-elastische statische analyse (inleiding)

Deze paragraaf presenteert de formulering van elastische statische analyse op basis van de theorie van infinitesimale vervormingen. Voor de spanning-rekrelatie wordt lineaire elasticiteit aangenomen. Dit hoofdstuk is bedoeld als inleiding om de algemene structuur van eindige-elementen-structurele analyse te begrijpen en is als zelfstandig hoofdstuk opgebouwd.

Zie voor de algemene theorie van het principe van virtuele arbeid (vorm in de huidige configuratie, vorm in de initiële configuratie en reductie tot infinitesimale vervorming) Principe van virtuele arbeid; voor details van de lineair-elastische constitutieve wet Lineaire elasticiteit; voor conventies van tensor- en Voigt-notatie Tensornotatie en wiskundige grondslagen; voor de algemene formulering van eindige vervorming Beweging, vervorming en rek; en voor oplossingsmethoden voor niet-lineaire problemen Tangentstijfheidsmatrix.

Basisvergelijkingen

Onder de aannames van infinitesimale vervorming en lineaire elasticiteit bestaat het randwaardeprobleem in de vaste-stofmechanica uit de evenwichtsvergelijking, mechanische randvoorwaarden en geometrische randvoorwaarden (essentiële randvoorwaarden) (zie figuur 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{op} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{op} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Hier is \(\boldsymbol{\sigma}\) de Cauchy-spanning, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) de lichaamskracht per volume-eenheid, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) de voorgeschreven oppervlaktetractie, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) de voorgeschreven verplaatsing, en \(S_t, S_u\) zijn de mechanische en geometrische randen.

Figuur 2.1.1 Randwaardeprobleem in de vaste-stofmechanica (probleem met infinitesimale vervorming)

Met de symmetrische gradiëntoperator is de rek-verplaatsingsrelatie

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

De lineair-elastische constitutieve vergelijking is

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

waarbij \(\boldsymbol{C}\) de elasticiteitstensor van de vierde orde is.

Principe van virtuele arbeid

De algemene vormen van het principe van virtuele arbeid (vorm in de huidige configuratie, vorm in de initiële configuratie en reductie tot infinitesimale vervorming) worden samengevat in Principe van virtuele arbeid. Onder de aannames van infinitesimale vervorming en lineaire elasticiteit is de zwakke vorm

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{op} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Substitutie van de constitutieve vergelijking \eqref{eq:2.1.5} en schrijven van \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) in Voigt-notatie geeft de vorm die rechtstreeks voor discretisatie wordt gebruikt:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

wordt verkregen, waarbij \(D\) de elastische matrix is die in Lineaire elasticiteit is gedefinieerd. Vergelijkingen \eqref{eq:2.1.10} en \eqref{eq:2.1.7} vormen het hieronder gediscretiseerde principe van virtuele arbeid.

Discretisatie en assemblage van de globale vergelijking

Discretisatie van het principe van virtuele arbeid in vgl.\( \eqref{eq:2.1.10} \) over de eindige elementen geeft

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Voor elk element wordt het verplaatsingsveld als volgt geïnterpoleerd met de verplaatsingen van de knopen waaruit het element bestaat.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

De rek wordt vervolgens met vgl.\(\eqref{eq:2.1.4}\) als volgt gegeven.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Substitutie van vgl.\(\eqref{eq:2.1.12}\) en \(\eqref{eq:2.1.13}\) in vgl.\(\eqref{eq:2.1.11}\) geeft

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Vergelijking \(\eqref{eq:2.1.14}\) kan worden geschreven als

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Hierbij kunnen de componenten van de matrix en vector die door vgl.\(\eqref{eq:2.1.16}\) en \(\eqref{eq:2.1.17}\) zijn gedefinieerd voor elk eindig element worden berekend en door superpositie worden geassembleerd.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]

\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Omdat vgl.\(\eqref{eq:2.1.15}\) geldt voor een willekeurige virtuele verplaatsing \(\delta \boldsymbol{U}\), wordt de volgende vergelijking verkregen.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Ondertussen wordt de verplaatsingsrandvoorwaarde in vgl.\(\eqref{eq:2.1.3}\) als volgt uitgedrukt.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Door vgl.\(\eqref{eq:2.1.18}\) op te lossen onder de constraintvoorwaarde in vgl.\(\eqref{eq:2.1.19}\), kan de knoopverplaatsing \(\boldsymbol{U}\) worden bepaald.

Zie ook