Spanning en behoudswetten¶
Dit hoofdstuk ordent de definities en onderlinge relaties van spanningstensoren, samen met de evenwichtsvergelijkingen en spanningssymmetrie die volgen uit behoud van massa, lineaire impuls en impulsmoment. De drie spanningstensoren — Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\), eerste Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{P}\) en tweede Piola-Kirchhoff-spanning \(\boldsymbol{S}\) — worden ingevoerd volgens de configuratie die als referentie voor het oppervlak en de krachtvector wordt gebruikt. Zie Beweging, vervorming en rek voor de definities van configuratie, beweging en vervormingsgradiënt, en Lijst met symbolen van fysieke grootheden voor de symbolenlijst.
Cauchy-spanningstensor¶
Laat \(d\boldsymbol{f}\) de kracht zijn die werkt op een infinitesimaal oppervlak in een punt \(\boldsymbol{x}\) van de huidige configuratie (oppervlakte \(d\Gamma\), uitwendige eenheidsnormaal \(\boldsymbol{n}\)), en definieer de tractievector \(\boldsymbol{t}\) als de kracht per oppervlakte-eenheid via \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) hangt af van zowel de positie \(\boldsymbol{x}\) als de normaal \(\boldsymbol{n}\). Toepassing van impulsbehoud op een infinitesimaal tetraëder toont dat \(\boldsymbol{t}\) lineair is in \(\boldsymbol{n}\), zodat er een tweede-orde tensor \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) bestaat waarvoor
voor elke \(\boldsymbol{n}\) (spanningstelling van Cauchy). Deze tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) heet de Cauchy-spanningstensor en wordt ook ware spanning genoemd, omdat hij kracht per oppervlakte-eenheid weergeeft gemeten ten opzichte van de geometrie van de huidige configuratie. De component \(\sigma_{ij}\) geeft de \(x_i\)-component weer van de kracht per oppervlakte-eenheid die werkt op een infinitesimaal oppervlak dat in de huidige configuratie loodrecht staat op de coördinaatas \(x_j\).
Zoals later uit behoud van impulsmoment wordt afgeleid, is de Cauchy-spanning een symmetrische tensor:
In drie dimensies heeft deze daarom zes onafhankelijke componenten (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Vectorisering van spanning in Voigt-notatie veronderstelt deze symmetrie (zie Tensor-notatie en wiskundige grondslagen). Cauchy-spanning wordt gebruikt voor spanningsuitvoer in geometrisch niet-lineaire FrontISTR-analyse met de Updated Lagrange-methode en in analyse met kleine vervormingen.
Eerste en tweede Piola-Kirchhoff-spanning¶
Bij eindige vervorming is het vaak handig spanning uit te drukken ten opzichte van oppervlakken en vectoren in de referentieconfiguratie; daarom worden twee Piola-Kirchhoff-spanningstensoren ingevoerd. Laat de oppervlakte van een infinitesimaal oppervlak in de referentieconfiguratie \(d\Gamma_0\) zijn en de uitwendige eenheidsnormaal \(\boldsymbol{N}\).
De eerste Piola-Kirchhoff-spanning (eerste PK-spanning, nominale spanning) \(\boldsymbol{P}\) wordt gedefinieerd als de spanningstensor die ontstaat wanneer de kracht \(d\boldsymbol{f}\) in de huidige configuratie wordt toegepast op een infinitesimaal oppervlak in de referentieconfiguratie:
Gebruik van de formule van Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) samen met de spanningstelling van Cauchy geeft de relatie met de Cauchy-spanning
De eerste PK-spanning is in het algemeen niet symmetrisch.
De tweede Piola-Kirchhoff-spanning (tweede PK-spanning) \(\boldsymbol{S}\) wordt gedefinieerd als de spanningstensor die wordt verkregen door de kracht \(d\boldsymbol{f}\) in de huidige configuratie met \(\boldsymbol{F}^{-1}\) terug te trekken naar de referentieconfiguratie en toe te passen op een infinitesimaal oppervlak in de referentieconfiguratie:
Zowel de krachtvector als het oppervlak waarop deze werkt worden uitgedrukt in grootheden van de referentieconfiguratie, waardoor de tensor invariant is onder starre lichaamsrotatie en symmetrisch is. De relatie met de eerste PK-spanning en de transformatie vanuit Cauchy-spanning zijn
De tweede PK-spanning wordt afgeleid uit een hyperelastische rekenergiefunctie \(W(\boldsymbol{C})\) als \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) en wordt in de Total Lagrange-methode samen met de Green-Lagrange-rek \(\boldsymbol{E}\) gebruikt als het arbeidsconjugate paar \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
De referentieconfiguraties en symmetrie-eigenschappen worden hieronder samengevat. In de limiet van kleine vervormingen (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) vallen de drie spanningen samen.
| Spanningstensor | Referentieoppervlak | Krachtvector | Symmetrie | Toepassing |
|---|---|---|---|---|
| Cauchy-spanning \(\boldsymbol{\sigma}\) | Huidige configuratie \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Huidige configuratie \(d\boldsymbol{f}\) | Symmetrisch | Updated Lagrange-methode / analyse met kleine vervormingen |
| Eerste PK-spanning \(\boldsymbol{P}\) | Referentieconfiguratie \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Huidige configuratie \(d\boldsymbol{f}\) | In het algemeen niet symmetrisch | Evenwichtsvergelijkingen in de referentieconfiguratie |
| Tweede PK-spanning \(\boldsymbol{S}\) | Referentieconfiguratie \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Referentieconfiguratie \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Symmetrisch | Total Lagrange-methode / hyperelasticiteit |
Behoud van massa en impuls en de evenwichtsvergelijkingen¶
Laat \(\rho\) de massadichtheid in de huidige configuratie zijn en \(\rho_0\) de massadichtheid in de referentieconfiguratie. De wet van massabehoud \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) reduceert samen met de transformatie van het volume-element \(dv = J\, dV\) tot de lokale vorm
Dit is de lokale relatie voor massabehoud.
Laat \(\boldsymbol{g}\) de volumekracht per massa-eenheid zijn en \(\boldsymbol{a}\) de versnelling. Toepassing van de spanningstelling van Cauchy en de divergentiestelling van Gauss op het behoud van lineaire impuls (Eulers eerste bewegingswet) geeft de lokale evenwichtsvergelijking (bewegingsvergelijking) in de huidige configuratie:
Herschrijven van de integraal in de referentieconfiguratie met de formule van Nanson en \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) geeft de lokale vorm in de referentieconfiguratie:
De twee vormen zijn equivalent via de spanningstransformatieregel en \(\rho_0 = J\rho\). Verwaarlozing van de traagheidsterm geeft
dit is de statische evenwichtsvergelijking en vormt het uitgangspunt voor de statische analyse van FrontISTR (lineair en niet-lineair).
Behoud van impulsmoment en spanningssymmetrie¶
Combinatie van het behoud van impulsmoment (Eulers tweede bewegingswet) met de evenwichtsvergelijking uit behoud van lineaire impuls geeft de symmetrie van de Cauchy-spanningstensor:
Daarom heeft deze in drie dimensies zes onafhankelijke componenten. Door beide zijden van de transformatie \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) te transponeren en de niet-singulariteit van \(\boldsymbol{F}\) te gebruiken, volgt dat ook de tweede PK-spanning symmetrisch is:
en daarom eveneens zes onafhankelijke componenten heeft. Daarentegen is de eerste PK-spanning \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) in het algemeen niet symmetrisch; alleen de relatie \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) geldt (dat wil zeggen, \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) is symmetrisch), en zij heeft negen onafhankelijke componenten.
Deze symmetrieën vormen de basis voor het weergeven van spanning als een vector met zes componenten in Voigt-notatie. Zie Tensor-notatie en wiskundige grondslagen en Lineaire elasticiteit voor de conventies van Voigt-notatie en de opbouw van materiaalmatrices.