Niet-lineaire iteratie en tijdintegratie

FrontISTR voert de oplossing vooruit door binnen de incrementregeling van elke stap bij elke substep niet-lineaire iteraties en tijdintegratie te combineren. Deze pagina beschrijft de iteratiestructuren tussen de buitenste stapregeling en de binnenste lineaire oplosser: Newton-Raphson-iteraties, contactiteraties, tijdintegratie voor dynamische analyse en het raamwerk voor tijdsvoortgang en niet-lineaire iteratie bij transiënte warmtegeleiding.

Overzicht

Niet-lineaire oplossing en tijdintegratie binnen een stap hebben een geneste structuur met meerdere lussen van buiten naar binnen. Elke laag heeft de volgende rol.

Laag	Rol	Belangrijkste referentiepagina
Staplus	Verdeelt de gehele analyse in meerdere stappen en schakelt randvoorwaarden, belastingen, contact en elementactivering.	Stapregeling
Substeplus	Verdeelt één stap in tijdsincrementen en gaat vooruit met vaste incrementen of automatische incrementen en cutback.	Stapregeling
Voortgang van de tijdintegratietoestand	Bepaalt bij dynamische analyse en transiënte warmtegeleiding de toestand op het volgende tijdstip uit de toestand van de vorige stap.	Deze pagina
Zoeklus voor contacttoestand	Zoekt bij contactanalyse naar veranderingen in contacttoestand (contact/scheiding) en werkt de structuur van de stijfheidsmatrix bij.	Deze pagina
Buitenste iteratie met augmented Lagrange	Verbetert bij ALAGRANGE-contact de nauwkeurigheid van de contactbeperking stapsgewijs.	Deze pagina
Newton-iteratie	Lost niet-lineaire evenwichtsvergelijkingen iteratief op met de Newton-Raphson-methode.	Deze pagina
Oplossing van lineair stelsel	Lost bij elke Newton-iteratie het lineaire stelsel op basis van de tangentiële stijfheidsmatrix op.	Oplosser en preconditionering

Welke van deze lagen voorkomen, hangt af van het analysetype.

Analysetype	Tijdintegratie	Zoeken naar contacttoestand	Buitenste iteratie	Newton-iteratie
Lineaire statische analyse	—	—	—	—
Niet-lineaire statische analyse (zonder contact)	—	—	—	Ja
Niet-lineaire statische analyse (SLAGRANGE-contact)	—	Ja	—	Ja
Niet-lineaire statische analyse (ALAGRANGE-contact)	—	Ja	Ja	Ja
Dynamische analyse, impliciet	Newmark-β	—	—	Ja (wanneer niet-lineair)
Dynamische analyse, expliciet	Centrale differentie	—	—	—
Frequentieresponsanalyse	Modale superpositie	—	—	—
Transiënte warmtegeleiding	Crank-Nicolson / achterwaartse Euler	—	—	Ja (wanneer materiaaleigenschappen temperatuurafhankelijk zijn)
Stationaire warmtegeleiding	—	—	—	Ja (wanneer materiaaleigenschappen temperatuurafhankelijk zijn)

Zie Contact en inbedding voor de keuze van het contacttype en het algoritme zelf. Deze pagina beschrijft hoe het geselecteerde algoritme als iteratielus is georganiseerd.

Het oplossingsschema kiezen

De iteratiestructuur wordt automatisch bepaald door het geselecteerde analysetype (Analysetypen), de aan- of afwezigheid van niet-lineariteit (geometrische niet-lineariteit, materiaalniet-lineariteit of contact) en het contactalgoritme (SLAGRANGE of ALAGRANGE). De gebruiker stelt rechtstreeks de bovengrenzen voor het aantal iteraties en de convergentiecriteria af.

Bij het afstellen van deze instellingen gelden de volgende richtlijnen.

• Voor standaardanalyse is de standaardbovengrens voor het aantal iteraties doorgaans voldoende. Als een moeilijk convergerend probleem het maximale aantal iteraties bereikt zonder convergentie, gebruik dan eerst cutback (Stapregeling); verhoog de bovengrens alleen als dit de convergentie niet verbetert.
• Stel de convergentiecriteria af om analysestabiliteit en rekentijd in evenwicht te brengen. Strengere criteria verbeteren de evenwichtsnauwkeurigheid maar verhogen het aantal iteraties. Bij contactanalyses en analyses met Lagrange-multiplicatoren kan het combineren van criteria voor verplaatsingsincrementen of Lagrange-criteria met het residucriterium de stabiliteit verbeteren.
• Begin voor de tijdintegratieparameters bij dynamische analyse (de Newmark-β-coëfficiënten) met een standaardcombinatie van waarden en pas deze aan wanneer de numerieke dempingskarakteristieken van de trillingsrespons worden gewijzigd.
• Gebruik voor het tijdintegratieschema bij transiënte warmtegeleiding Crank-Nicolson voor problemen met vloeiende temperatuurveranderingen en achterwaartse Euler wanneer abrupte veranderingen of langetermijnstabiliteit belangrijker zijn.

Newton-Raphson-iteratie bij statische analyse

Bij niet-lineaire statische analyse worden evenwichtsvergelijkingen met geometrische of materiaalniet-lineariteit iteratief opgelost met de Newton-Raphson-methode. Elke iteratie verloopt als volgt.

1. Evalueer de residuvector \(\boldsymbol{R}\) bij de huidige oplossing.
2. Assembleer de tangentiële stijfheidsmatrix \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Los het lineaire stelsel \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) op om de verplaatsingscorrectie \(\Delta \boldsymbol{u}\) te verkrijgen.
4. Werk de oplossing bij als \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Vergelijk met de convergentiecriteria. Als convergentie is bereikt, beëindig de iteratie; ga anders terug naar stap 1.

De lineaire oplosser voert de oplossing van het lineaire stelsel uit (stap 3). Zie Oplosser en preconditionering voor de keuze van oplosser en preconditioner.

De iteratie wordt bestuurd met de stapregelparameters van !STEP. De belangrijkste regelwaarden zijn als volgt.

Rol	Parameter
Bovengrens van het aantal iteraties. Als de grens wordt bereikt zonder convergentie, wordt de substep aan cutback onderworpen.	MAXITER
Convergentiecriterium gebaseerd op de relatieve residunorm.	CONVERG
Convergentiecriterium gebaseerd op de normverhouding van de verplaatsingscorrectie. Wordt samen met het residucriterium gebruikt om de stabiliteit te verbeteren.	CONVERG_DDISP
Divergentiecriterium voor de residunorm. De iteratie wordt beëindigd wanneer deze waarde wordt overschreden.	MAXRES

Het maximale aantal Newton-iteraties waarnaar wordt verwezen bij beslissingen over automatische incrementen en cutback in Stapregeling, betekent het aantal Newton-iteraties dat op deze pagina wordt beschreven. Automatische incrementregeling verhoogt het tijdsincrement na een substep die in weinig iteraties convergeerde en verlaagt het na een substep die veel iteraties vereiste.

Contactiteratie bij statische analyse

Bij contactanalyse verandert de contacttoestand tijdens de iteratie door contact, scheiding en glijden op contactoppervlakken; daarom wordt Newton-iteratie gecombineerd met updates van de contacttoestand. De structuur hangt af van het algoritme voor het oplossen van contact.

Beide algoritmen plaatsen een zoeklus voor de contacttoestand op het buitenste niveau. Bij elke doorgang door deze lus wordt de contacttoestand (contact/scheiding) opnieuw geëvalueerd nadat de binnenste Newton-iteratie is geconvergeerd. Als de toestand is veranderd, wordt de structuur van de stijfheidsmatrix bijgewerkt en wordt de binnenste iteratie opnieuw uitgevoerd. De lus eindigt wanneer de contacttoestand onveranderd is ten opzichte van de vorige doorgang en aan de contactconvergentiecriteria (contactkracht- en Lagrange-multiplicatorcriteria) is voldaan. De bovengrens voor het aantal doorgangen wordt opgegeven door MAXCONTITER van !STEP.

Bij SLAGRANGE-contact worden contactvrijheidsgraden met de standaardmethode van Lagrange-multiplicatoren in het lineaire stelsel opgenomen, wat een tweelaagse structuur geeft waarin de Newton-iteratie direct binnen de zoeklus voor de contacttoestand ligt. Er is geen augmented-Lagrange-iteratie.

Bij ALAGRANGE-contact wordt binnen de zoeklus voor de contacttoestand een augmented-Lagrange-iteratie toegevoegd en wordt daarbinnen de Newton-iteratie uitgevoerd, wat een drielagige structuur geeft. Bij elke augmented-Lagrange-iteratie wordt de contactbeperking opnieuw geëvalueerd met een combinatie van de penaltyterm en de Lagrange-multiplicator, waardoor de nauwkeurigheid van de beperking stapsgewijs verbetert. De bovengrens voor het aantal augmented-Lagrange-iteraties wordt opgegeven door AUGITER van !CONTACT_ALGO.

De regelwaarden voor contactiteratie zijn als volgt.

Rol	Opgegeven in
Bovengrens van het aantal iteraties van de zoeklus voor de contacttoestand. Gebruikt voor zowel SLAGRANGE als ALAGRANGE.	!STEP MAXCONTITER
Bovengrens van het aantal augmented-Lagrange-iteraties. Alleen gebruikt voor ALAGRANGE.	!CONTACT_ALGO AUGITER
Convergentiecriterium voor de correctie van de Lagrange-multiplicator. Wordt samen met het residucriterium gebruikt in analyses met contact.	!STEP CONVERG_LAG

Het aantal contactiteraties waarnaar wordt verwezen bij beslissingen over automatische incrementen in Stapregeling, betekent het aantal iteraties dat op deze pagina wordt beschreven, inclusief updates van de contacttoestand. Analyses waarin contact en scheiding vaak optreden, vereisen doorgaans meer contactiteraties, wat ook beslissingen over automatische incrementen en cutback beïnvloedt. Zie Contact en inbedding voor contacttypen, paardefinities en algoritmekeuze zelf. Zie Oplosser en preconditionering voor het oplossen van het lineaire stelsel met contactvrijheidsgraden.

Tijdintegratie bij dynamische analyse (impliciete methode)

De impliciete methode voor dynamische analyse gebruikt de Newmark-β-methode om bij elke tijdstap verplaatsing, snelheid en versnelling op het volgende tijdstip aan elkaar te relateren en combineert deze relaties met de bewegingsvergelijking om de toestand op tijdstip \(t + \Delta t\) te verkrijgen. De stabiliteitsbeperking op de tijdstap \(\Delta t\) is mild, waardoor structurele responsen die door laagfrequente componenten worden gedomineerd efficiënt kunnen worden opgelost.

De volgende twee tijdintegratieparameters worden gebruikt.

Parameter	Rol
\(\beta\)	Coëfficiënt gerelateerd aan tijdinterpolatie van verplaatsing.
\(\gamma\)	Coëfficiënt gerelateerd aan tijdinterpolatie van snelheid.

De combinatie \(\beta = 1/4\) en \(\gamma = 1/2\) wordt de gemiddelde-versnellingsmethode genoemd en is een standaardkeuze die onvoorwaardelijk stabiel is en geen numerieke demping heeft. Kies \(\gamma\) groter dan \(1/2\) om numerieke demping in te voeren. Zie de theoriehandleiding voor wiskundige details over parametercombinaties, stabiliteit en foutkarakteristieken.

Wanneer niet-lineariteit (geometrische niet-lineariteit, materiaalniet-lineariteit of contact) is opgenomen, wordt binnen elke tijdstap Newton-iteratie uitgevoerd; het lineaire stelsel wordt binnen de iteratie opgelost en de toestand wordt bijgewerkt. De convergentiecriteria gebruiken CONVERG en gerelateerde waarden die met statische analyse worden gedeeld. Bij dynamische analyse met contact wordt dezelfde iteratiestructuur als Contactiteratie bij statische analyse in elke tijdstap opgenomen.

De tijdstap bij dynamische analyse wordt voornamelijk bestuurd door de tijdvoorwaarden van !STEP. Bij vaste incrementen specificeert !STEP DTIME als tijdstap en ETIME als stapduur. De waarden n_step en t_delta van !DYNAMIC worden als standaardwaarden behandeld wanneer !STEP is weggelaten en voor achterwaartse compatibiliteit. Bij de niet-lineaire impliciete methode schakelt !STEP met INC_TYPE=AUTO automatische incrementen en cutback in, waarbij de tijdstap wordt verhoogd of verlaagd volgens de toestand van Newton- en contactiteraties. Stel de tijdstap, ongeacht of vaste of automatische incrementen worden gebruikt, in met zowel convergentie als de vereiste nauwkeurigheid in gedachten.

Tijdintegratie bij dynamische analyse (expliciete methode)

De expliciete methode voor dynamische analyse gebruikt de centrale-differentiemethode om de toestand op het volgende tijdstip rechtstreeks te berekenen uit alleen de informatie over verplaatsing, snelheid en versnelling op het vorige tijdstip. Omdat geen simultane vergelijkingen worden opgelost, zijn de rekenkosten per stap laag. Zelfs wanneer niet-lineariteit is opgenomen, is elke tijdstap een eentrapsupdate zonder Newton-iteratie.

De tijdstap heeft een bovengrens die wordt opgelegd door een stabiliteitsvoorwaarde op basis van de minimale eigenperiode van het systeem (de CFL-voorwaarde). Een tijdstap die deze grens overschrijdt, doet de numerieke oplossing divergeren, zodat grote tijdstappen zoals mogelijk met de impliciete methode niet kunnen worden gebruikt. De expliciete methode is voordelig voor verschijnselen zoals impact, golfvoortplanting en snel contact, waarbij kleine tijdstappen inherent vereist zijn.

Wanneer contact is opgenomen, wordt de Forward Increment Lagrange-methode gebruikt om contactbeperkingen op te leggen. Contactkrachten worden geëvalueerd op een manier die consistent is met de eentrapsupdate van de expliciete methode.

Oplossingsmethode voor frequentieresponsanalyse

Frequentieresponsanalyse bepaalt met de methode van modale superpositie rechtstreeks de periodieke stationaire respons in het frequentiedomein. De respons wordt geëvalueerd terwijl de excitatie-frequentie wordt gevarieerd; het is niet nodig een tijdgeschiedenis via iteraties te volgen. Er worden geen niet-lineaire iteraties of tijdintegratie uitgevoerd.

Voordat frequentieresponsanalyse kan worden uitgevoerd, moet voor hetzelfde systeem een modale analyse worden uitgevoerd en moet het vereiste aantal eigenmodi worden geëxtraheerd. Alleen lineaire modellen worden ondersteund; de analyse kan niet worden uitgevoerd wanneer geometrische of materiaalniet-lineariteit is ingeschakeld. Zie Analysetypen voor de positionering van dit analysetype.

Tijdsvoortgang en niet-lineaire iteratie bij transiënte warmtegeleiding

Transiënte warmtegeleiding heeft een eigen tijdlus die binnen !HEAT wordt voltooid. De tijdstap wordt bestuurd via een pad dat losstaat van !STEP en !AUTOINC_PARAM van de structurele analyse, en wanneer materiaaleigenschappen temperatuurafhankelijk zijn, wordt binnen elke tijdstap niet-lineaire iteratie uitgevoerd.

Het tijdintegratieschema wordt geselecteerd met de parameter \(\beta\) van !HEAT.

\(\beta\)	Schema	Kenmerken
0.5	Crank-Nicolson-methode	Tweede-orde nauwkeurigheid. Geschikt voor problemen met vloeiende temperatuurveranderingen.
1.0	Achterwaartse-Euler-methode	Eerste-orde nauwkeurigheid. Onvoorwaardelijk stabiel en biedt stabiliteit voor langdurige analyses en abrupte temperatuurveranderingen.

De tijdstap wordt adaptief bestuurd door de initiële tijdstap, minimale tijdstap en maximale temperatuurverandering per stap te combineren. Als de temperatuurverandering na berekening van een tijdstap DELTMX overschrijdt, wordt de tijdstap verkleind en wordt de stap opnieuw berekend. De analyse wordt afgebroken als de tijdstap onder de minimale tijdstap DTMIN valt.

Wanneer materiaaleigenschappen temperatuurafhankelijk zijn, wordt binnen elke tijdstap niet-lineaire iteratie uitgevoerd. De iteratie wordt als volgt bestuurd.

Rol	Parameter
Bovengrens voor niet-lineaire iteraties.	!HEAT ITMAX
Convergentiecriterium.	!HEAT EPS

Stationaire warmtegeleiding gebruikt geen tijdstappen; alleen wanneer de materiaaleigenschappen temperatuurafhankelijk zijn, wordt niet-lineaire iteratie uitgevoerd. Omdat de tijdregeling voor warmtegeleidingsanalyse onafhankelijk is van !STEP van de structurele analyse, controleert u de !HEAT-instellingen wanneer u de tijdstap aanpast.

Gerelateerde onderwerpen

• Analysetypen — Positionering van elk analysetype.
• Contact en inbedding — Selectie van contacttypen, paardefinities en oplossingsalgoritmen.
• Oplosser en preconditionering — Oplossing van de lineaire simultane vergelijkingen die binnen de Newton-iteratie worden aangeroepen.
• Stapregeling — Buitenste stap-/substepregeling en automatische incrementen/cutback.
• Newton-Raphson-methode (theorie) — Formulering van de iteratieve oplossingsmethode.
• Convergentiecriteria (theorie) — Wiskundige definities van convergentie-indicatoren.
• Methoden voor dynamische analyse (theorie) — Formulering van de Newmark-β- en centrale-differentiemethoden.
• Transiënte warmtegeleidingsanalyse (theorie) — Formulering van tijdintegratie voor warmtegeleiding.
• Contactanalyse (theorie) — Formulering van de methode van Lagrange-multiplicatoren.
• Trefwoordreferentie: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.