Ga naar inhoud

Vormfuncties en eindige-elementenbenadering

Om de zwakke vorm van het beginsel van virtuele arbeid computationeel te behandelen, wordt het lichaamsdomein verdeeld in een eindig aantal elementen en worden de materiaalpuntcoördinaten, verplaatsing en testfunctie binnen elk element geïnterpoleerd uit knoopwaarden en vormfuncties. Ruimtelijke afgeleiden van de vormfuncties worden behandeld in Ruimtelijke afgeleiden van vormfuncties, de discretisatie van de zwakke vorm in Discretisatie van interne virtuele arbeid, en de specifieke vormen van de vormfuncties voor elk elementtype in Elementnummeringssysteem en vormfunctiebibliotheek en de daaropvolgende paragrafen.

Domeinopdeling en elementsgewijze sommen van integralen

Het domein \(\Omega_0\) in de referentieconfiguratie en het domein \(\Omega\) in de actuele configuratie worden benaderd door respectievelijk de verenigingen van elementen \(\Omega^e_0\) en \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) is het elementnummer en elementgrenzen worden gedeeld door aangrenzende elementen.) Hierdoor worden de volume- en oppervlakte-integralen in het beginsel van virtuele arbeid ontbonden in sommen van integralen over afzonderlijke elementen:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Hetzelfde geldt voor de actuele configuratie door \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) en \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\) te vervangen.) Hierna wordt de evaluatie van de zwakke vorm teruggebracht tot het construeren van integralen per element.

Interpolatie met knoopwaarden en vormfuncties (isoparametrische elementen)

Aan elk element \(\Omega^e_0\) worden \(n_e\) knopen toegewezen. Laat de coördinaten in de referentieconfiguratie en de knoopverplaatsingen van elementknoop \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) gelijk zijn aan \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). De elementknoopvectoren \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) en \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) worden gevormd door deze waarden te ordenen; voor element \(e\) bevatten zij uitsluitend de componenten van de knopen die het element vormen, geëxtraheerd uit de globale knoopvectoren \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) is het totale aantal knopen).

Met de natuurlijke coördinaten \(\boldsymbol{r}\), de lokale coördinaten binnen het element, als parameters interpoleren de vormfuncties \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) de materiaalcoördinaten, verplaatsing en testfunctie binnen het element met dezelfde vormfuncties (isoparametrisch element en Galerkin-methode):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

De vormfuncties worden zo geconstrueerd dat zij aan de volgende twee eigenschappen voldoen, en de elementgeometrie wordt zo gekozen dat de afbeelding \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) van natuurlijke coördinaten naar materiaalcoördinaten binnen het element één-op-één is:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) is het punt in natuurlijke coördinaten dat overeenkomt met knoop \(\alpha\), en \(\delta_{\alpha\beta}\) is de Kronecker-delta.) De eerste vergelijking garandeert reproductie van starre translatie, en de tweede garandeert dat de geïnterpoleerde waarde in elke knoop samenvalt met de knoopwaarde. De specifieke vormen van \(n_e\) en \(N_\alpha^e\) voor elk elementtype worden gegeven in Elementnummeringssysteem en vormfunctiebibliotheek en de daaropvolgende paragrafen. Om omslachtige notatie te vermijden, wordt de afhankelijkheid van het elementtype weergegeven door het elementsgewijze superscript \(e\).

Met de bovenstaande interpolatieregels kan de integrand van de zwakke vorm uitsluitend worden uitgedrukt in termen van de elementknoopwaarden \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) en \(N_\alpha^e\). Rek daarentegen wordt afgeleid uit de geïnterpoleerde verplaatsing en de rek-verplaatsingsrelatie, terwijl spanning wordt afgeleid uit die rek en de constitutieve materiaalwet; deze grootheden worden niet rechtstreeks uit knoopwaarden geïnterpoleerd. Ze worden geëvalueerd op integratiepunten binnen het element (Numerieke integratie).

Ordeningsregel voor globale knoopvectoren

Fysische grootheden die aan knopen zijn toegewezen, worden in de globale knoopvector gerangschikt in oplopende volgorde van knoopnummer → vrijheidsgraad. Als bij knoop \(\alpha\) de vrijheidsgraadcomponent \(i\) wordt aangeduid met \(u_{i\alpha}\), dan geldt respectievelijk in drie dimensies (\(i=1,2,3\)) en twee dimensies (\(i=1,2\)):

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

De coördinaten \(\boldsymbol{X}^n\) en de testfunctie \(\delta\boldsymbol{u}^n\) volgen dezelfde ordening. Hierna worden afleidingen in matrix- en vectorvorm geschreven met het driedimensionale geval als representatief geval.

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status