Ga naar inhoud

Vormfuncties voor 3D-solide elementen

Dit hoofdstuk vat de natuurlijke coördinatenstelsels en expliciete vormen samen van de vormfuncties \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) die in Vormfuncties en eindige-elementenbenadering zijn ingevoerd voor de driedimensionale solide elementen die FrontISTR gebruikt bij continuümanalyse. De zes elementtypen zijn tetraëders van eerste/tweede orde (341/342), driehoekige prisma's van eerste/tweede orde (351/352) en hexaëders van eerste/tweede orde (361/362). Zie de Elementbibliotheek in de functiereferentie voor de knoopvolgorde en vlaknummers in het HEC-MW-meshformaat.

De procedure voor het construeren van elementintegratie uit deze vormfuncties en de Jacobiaandeterminant volgt Numerieke integratie. De B-bar-, F-bar- en incompatibele formuleringen voor 361, evenals vormfuncties voor balk- en schaalelementen, worden behandeld in Geavanceerde elementformuleringen.

Natuurlijke coördinatenstelsels en interne knoopvolgorde

Vormfuncties worden gedefinieerd op de natuurlijke coördinaten \(\boldsymbol{r}\) van elk element. Driedimensionale solide elementen gebruiken afhankelijk van de elementvorm de volgende drie natuurlijke coördinatenstelsels.

  • Hexaëders (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraëders (341/342): volumecoördinaten \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), met \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) en \(L_i \ge 0\). Met \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) als onafhankelijke variabelen geldt \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Driehoekige prisma's (351/352): combineren de volumecoördinaten \((\xi, \eta)\) van de basisdriehoek (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) met de axiale coördinaat \(\zeta \in [-1, 1]\) om \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) te vormen. De hulpgrootheid \(a = 1 - \xi - \eta\) wordt gebruikt als derde volumecoördinaat op de basis.

Voor eerste-orde-elementen is de elementknoopnummering hetzelfde in het HEC-MW-invoerformaat en het interne formaat. Voor tweede-orde-elementen verschillen de conventies voor de volgorde van middenrandknopen. FrontISTR accepteert het HEC-MW-formaat als invoer (de hoekknopen worden rondom het element vermeld, gevolgd door middenrandknopen in de randvolgorde 1-2, 2-3, …), terwijl de vormfuncties in de elementbibliotheek zijn geïmplementeerd uitgaande van een andere knoopvolgorde.

Het verschil tussen de twee formaten wordt opgelost door hecmw2fstr_mesh_conv, dat onmiddellijk na de meshinvoer wordt aangeroepen en de knopen voor elk element herschikt. Van de driedimensionale solide elementen worden de volgende twee typen geconverteerd.

Elementtype Conversietabel Beschrijving
342 (tweede-orde-tetraëder) Table342 Herschikt de 10 knopen naar \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (tweede-orde-driehoekig prisma) Table352 Herschikt de 15 knopen naar \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Omdat de herschikking rechtstreeks wordt uitgevoerd op de array waarin de elementconnectiviteit wordt opgeslagen, gebruiken alle volgende aanroepen van de elementbibliotheek de interne knoopvolgorde van FrontISTR. Voor het tweede-orde-hexaëderelement 362 bestaat geen conversietabel omdat de volgorde van de middenrandknopen in HEC-MW-invoer en het interne FrontISTR-formaat hetzelfde is. Bij resultaatuitvoer herstelt de inverse conversie fstr2hecmw_mesh_conv de HEC-MW-knoopvolgorde vóór het schrijven, zodat gebruikers voor zowel invoer als uitvoer alleen rekening hoeven te houden met het HEC-MW-formaat. De knoopnummers in de onderstaande vormfuncties gebruiken het geconverteerde interne FrontISTR-formaat.

Vormfuncties voor eerste-orde-elementen

Voor het eerste-orde-tetraëderelement (341) zijn de vormfuncties de volumecoördinaten zelf:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Voor het eerste-orde-driehoekige prisma-element (351) zijn de vormfuncties producten van de lineaire vormfuncties van de basisdriehoek (\(a, \xi, \eta\)) en de lineaire axiale vormfuncties (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Voor het eerste-orde-hexaëderelement (361) zijn de vormfuncties tensorproducten van lineaire vormfuncties in de drie coördinaatrichtingen:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Hier zijn \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) de natuurlijke-coördinaatwaarden van knoop \(\alpha\) (elke component is \(\pm 1\)).

Vormfuncties voor tweede-orde-elementen

Voor het tweede-orde-tetraëderelement (342) worden de vormfuncties verdeeld over vier hoekknopen en zes middenrandknopen:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Middenrandknopen 5–10 komen respectievelijk overeen met de middelpunten van de randen 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 en 3-4.

Het tweede-orde-driehoekige prisma-element (352) bestaat uit zes hoekknopen, zes middenrandknopen op de driehoekige vlakken en drie middenrandknopen op de axiale randen:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Middenrandknopen 7–9 komen overeen met de randmiddelpunten van de onderste driehoek (\(\zeta = -1\)), knopen 10–12 met de randmiddelpunten van de bovenste driehoek (\(\zeta = +1\)), en knopen 13–15 met de middelpunten van de axiale randen.

Het tweede-orde-hexaëderelement (362) is een 20-knoops element uit de Serendipity-familie. Laat de natuurlijke-coördinaatwaarden van knoop \(\alpha\) gelijk zijn aan \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Voor hoekknopen (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), waarbij elke component \(\pm 1\) is),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Voor middenrandknopen (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), waarbij één van de drie natuurlijke coördinaten gelijk is aan \(0\) en de andere twee gelijk zijn aan \(\pm 1\)), hebben knopen met \(\xi_\alpha = 0\) (randen georiënteerd in de \(\xi\)-richting)

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Middenrandknopen waarvan de randrichting de \(\eta\)- of \(\zeta\)-as is, worden analoog gegeven, waarbij de overeenkomstige natuurlijke coördinaat door de kwadratische term wordt geëlimineerd.

Gerelateerde onderwerpen

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status