Перейти до змісту

Функції форми для 3D суцільних елементів

У цьому розділі узагальнено природні системи координат і явні форми функцій форми \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), введених у Функціях форми та скінченно-елементному наближенні, для тривимірних суцільних елементів, що використовуються FrontISTR в аналізі суцільного середовища. Розглядаються шість типів елементів: тетраедри першого/другого порядку (341/342), трикутні призми першого/другого порядку (351/352) та шестигранники першого/другого порядку (361/362). Порядок вузлів і номери граней у форматі сітки HEC-MW див. у Бібліотеці елементів у функціональному довіднику.

Процедура побудови інтегрування по елементу з цих функцій форми та визначника якобіана наведена в Чисельному інтегруванні. Формулювання B-bar, F-bar і несумісне формулювання для 361, а також функції форми для балкових та оболонкових елементів розглядаються в Розширених формулюваннях елементів.

Природні системи координат і внутрішній порядок вузлів

Функції форми визначаються у природних координатах \(\boldsymbol{r}\) кожного елемента. Для тривимірних суцільних елементів залежно від форми елемента використовуються три наведені нижче природні системи координат.

  • Шестигранники (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Тетраедри (341/342): об’ємні координати \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), де \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) і \(L_i \ge 0\). Як незалежні змінні беруться \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), а \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Трикутні призми (351/352): об’ємні координати \((\xi, \eta)\) базового трикутника (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) поєднуються з осьовою координатою \(\zeta \in [-1, 1]\) для утворення \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Допоміжна величина \(a = 1 - \xi - \eta\) використовується як третя об’ємна координата на основі.

Для елементів першого порядку нумерація вузлів елемента збігається у вхідному форматі HEC-MW та внутрішньому форматі. Для елементів другого порядку правила впорядкування проміжних вузлів на ребрах відрізняються. FrontISTR приймає на вході формат HEC-MW (спочатку по контуру перелічуються кутові вузли, потім проміжні вузли в порядку ребер 1-2, 2-3, …), тоді як функції форми в бібліотеці елементів реалізовані для іншого порядку вузлів.

Відмінність між двома форматами усуває hecmw2fstr_mesh_conv, що викликається відразу після зчитування сітки й перевпорядковує вузли для кожного елемента. Серед тривимірних суцільних елементів перетворюються два наведені нижче типи.

Тип елемента Таблиця перетворення Опис
342 (тетраедр другого порядку) Table342 Перевпорядковує 10 вузлів у \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (трикутна призма другого порядку) Table352 Перевпорядковує 15 вузлів у \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Оскільки перевпорядкування виконується безпосередньо в масиві, що зберігає зв’язність елементів, усі наступні виклики бібліотеки елементів використовують внутрішній порядок вузлів FrontISTR. Для шестигранного елемента другого порядку 362 таблиці перетворення немає, оскільки порядок проміжних вузлів у вхідному форматі HEC-MW збігається з внутрішнім форматом FrontISTR. Під час виведення результатів викликається зворотне перетворення fstr2hecmw_mesh_conv, яке перед записом відновлює порядок вузлів HEC-MW, тому користувачеві достатньо враховувати лише формат HEC-MW і для введення, і для виведення. Номери вузлів у наведених нижче функціях форми відповідають внутрішньому формату FrontISTR після перетворення.

Функції форми елементів першого порядку

Для тетраедрального елемента першого порядку (341) функціями форми є самі об’ємні координати:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Для елемента трикутної призми першого порядку (351) функції форми є добутками лінійних функцій форми базового трикутника (\(a, \xi, \eta\)) і лінійних осьових функцій форми (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Для шестигранного елемента першого порядку (361) функції форми є тензорними добутками лінійних функцій форми у трьох координатних напрямках:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Тут \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) — значення природних координат вузла \(\alpha\) (кожна компонента дорівнює \(\pm 1\)).

Функції форми елементів другого порядку

Для тетраедрального елемента другого порядку (342) функції форми поділяються на чотири кутові вузли та шість проміжних вузлів на ребрах:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Проміжні вузли 5–10 відповідають відповідно серединам ребер 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 і 3-4.

Елемент трикутної призми другого порядку (352) складається з шести кутових вузлів, шести проміжних вузлів на ребрах трикутних граней і трьох проміжних вузлів на осьових ребрах:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Проміжні вузли 7–9 відповідають серединам ребер нижнього трикутника (\(\zeta = -1\)), вузли 10–12 — серединам ребер верхнього трикутника (\(\zeta = +1\)), а вузли 13–15 — серединам осьових ребер.

Шестигранний елемент другого порядку (362) є 20-вузловим елементом сімейства Serendipity. Позначимо значення природних координат вузла \(\alpha\) як \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). Для кутових вузлів (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), кожна компонента дорівнює \(\pm 1\))

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Для проміжних вузлів на ребрах (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), одна з трьох природних координат дорівнює \(0\), а дві інші — \(\pm 1\)) вузли з \(\xi_\alpha = 0\) (ребра, спрямовані вздовж осі \(\xi\)) мають

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Проміжні вузли, ребра яких спрямовані вздовж осей \(\eta\) або \(\zeta\), задаються аналогічно, з усуненням відповідної природної координати квадратним членом.

Пов’язані теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status