Перейти до змісту

Принцип віртуальної роботи

На основі рівняння рівноваги та граничних умов, виведених у Напруженнях і законах збереження, виводиться принцип віртуальної роботи — слабка форма крайової задачі механіки суцільного середовища. Дискретизація методом скінченних елементів починається саме з цієї слабкої форми. У цьому розділі наведено як форму в поточній конфігурації (через напруження Коші та лінійну частину деформації Альмансі), так і форму у відліковій конфігурації (через друге напруження Піоли—Кірхгофа та деформацію Гріна—Лагранжа), показано їх еквівалентність, а потім підтверджено перехід до малих деформацій.

Рівняння рівноваги та граничні умови

Нехай \(\boldsymbol{g}\) — масова сила, що діє на суцільне середовище на одиницю маси, і розглянемо тіло, що займає область \(\Omega\) у поточній конфігурації. Межа \(\Gamma\) поділяється на геометричну межу \(\Gamma_B\), на якій переміщення задано як \(\bar{\boldsymbol{u}}\), і механічну межу \(\Gamma_t\), на якій поверхневу силу задано як \(\bar{\boldsymbol{t}}\), причому \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\), \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Для статичної задачі рівняння рівноваги отримується вилученням інерційного члена із закону збереження імпульсу, наведеного в Напруженнях і законах збереження:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{в} \ \Omega \]

Граничні умови мають вигляд

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{на} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{на} \ \Gamma_B \]

Надалі принцип віртуальної роботи виводиться як слабка форма рівняння рівноваги та механічної граничної умови \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Геометрична гранична умова \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) враховується вибором тестової функції.

Слабка форма в поточній конфігурації

У слабкій формі допустимий простір невідомих переміщень і простір тестових функцій визначимо відповідно як

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{на} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{на} \ \Gamma_B \} \]

Тут \(d\) — просторова розмірність, \(H^1(\Omega)\) — простір Соболєва функцій, квадрат яких інтегровний разом із їхніми першими слабкими похідними, а \(\delta\) позначає варіацію. У поданні в поточній конфігурації \(\Omega\) є деформованою конфігурацією; у фактичному чисельному розв’язанні її переносять назад у відлікову конфігурацію або в відому проміжну конфігурацію.

Помноживши рівняння рівноваги на вагову функцію \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) та застосувавши теорему Гауса про дивергенцію і механічну граничну умову, одержуємо такий принцип віртуальної роботи в поточній конфігурації.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Тут \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) — лінійна частина тензора деформації Альмансі, що визначається як

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Її варіація дорівнює \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Отже, шукається \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\), для якого рівняння віртуальної роботи виконується для будь-якого \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Ліва частина є віртуальною роботою внутрішніх сил, а права — віртуальною роботою зовнішніх сил від заданої поверхневої сили та масової сили.

Оскільки це рівняння записане в деформованій (поточній) області, у фактичній процедурі розв’язання початкову конфігурацію \(\Omega_0\) (відлікову конфігурацію) або відому проміжну конфігурацію знову обирають як відлікову, переписують рівняння в інкрементальній формі й після цього розв’язують. Конкретний вибір відлікової конфігурації (Total Lagrange / Updated Lagrange) та інкрементальний розклад див. у Структурі інкрементального аналізу.

Слабка форма в початковій конфігурації

Розглянемо тіло, що займає область \(\Omega_0\) у відліковій конфігурації, а його межу \(\Gamma_0\) розіб’ємо на \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Перенесення подання з поточної конфігурації у відлікову дає спряжену пару «напруження—деформація»: друге напруження Піоли—Кірхгофа \(\boldsymbol{S}\) і деформацію Гріна—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\). Тоді принцип віртуальної роботи в початковій конфігурації має вигляд

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Тут \(\rho_0\) — густина маси у відліковій конфігурації, і за співвідношенням збереження маси \(\rho_0 = J\rho\) цей запис еквівалентний поданню масової сили в поточній конфігурації.

Еквівалентність подань у поточній та початковій конфігураціях

Віртуальна робота внутрішніх сил у двох поданнях збігається завдяки перетворенню через градієнт деформації \(\boldsymbol{F}\) та відношення об’ємів \(J = \det \boldsymbol{F}\), тобто

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Члени зовнішніх сил також еквівалентні завдяки збереженню маси та перетворенню поверхневої сили. Отже, рівняння віртуальної роботи в поточній конфігурації та рівняння в початковій конфігурації виражають той самий принцип у різних конфігураціях. Метод розв’язання, що посилається на відлікову конфігурацію, відповідає методу Total Lagrange, а метод, що посилається на поточну конфігурацію (безпосередньо попередню збіжну конфігурацію), — методу Updated Lagrange.

Перехід до малих деформацій

За припущень малих деформацій \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) і \(J \approx 1\) відмінність між поточною та відліковою конфігураціями зникає, друге напруження PK збігається з напруженням Коші (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), а деформація Гріна—Лагранжа та лінійна частина деформації Альмансі обидві переходять у тензор малих деформацій \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Тоді принцип віртуальної роботи переходить у слабку форму, виражену через напруження Коші \(\boldsymbol{\sigma}\) та малу деформацію \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{на} \ \Gamma_B \]

Це слабка форма, що безпосередньо використовується для дискретизації в лінійно-пружному статичному аналізі малих деформацій (Лінійний пружний статичний аналіз (вступ і додаток) починається з цієї форми й показує побудову жорсткості елемента \(\boldsymbol{K}^e\) аж до складання глобального рівняння \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Підставивши лінійно-пружний конститутивний закон \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) і записавши \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) у позначеннях Фойгта, слабка форма набуває вигляду

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

що має таку форму.

Пов’язані теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status