Нелінійні ітерації та інтегрування за часом¶

FrontISTR просуває розв’язок, поєднуючи нелінійні ітерації та інтегрування за часом на кожному підкроці в межах керування приростом кожного кроку. На цій сторінці описано ітераційні структури між зовнішнім керуванням кроками та внутрішнім лінійним розв’язувачем: ітерації Ньютона—Рафсона, контактні ітерації, інтегрування за часом для динамічного аналізу, а також структуру просування за часом і нелінійних ітерацій у нестаціонарній теплопровідності.

Огляд¶

Нелінійне розв’язування та інтегрування за часом у межах кроку мають вкладену структуру з кількох циклів від зовнішнього до внутрішнього. Кожен рівень виконує таку роль.

Рівень	Призначення	Основна довідкова сторінка
Цикл кроків	Ділить увесь аналіз на кілька кроків і перемикає граничні умови, навантаження, контакт та активацію елементів.	Керування кроками
Цикл підкроків	Ділить один крок на часові прирости та просувається з фіксованими або автоматичними приростами й cutback.	Керування кроками
Просування стану інтегрування за часом	У динамічному аналізі та нестаціонарній теплопровідності отримує стан у наступний момент часу зі стану попереднього кроку.	Ця сторінка
Цикл пошуку стану контакту	У контактному аналізі шукає зміни стану контакту (контакт/відрив) та оновлює структуру матриці жорсткості.	Ця сторінка
Зовнішня ітерація розширеного методу Лагранжа	Для контакту `ALAGRANGE` поступово підвищує точність контактних обмежень.	Ця сторінка
Ітерація Ньютона	Ітераційно розв’язує нелінійні рівняння рівноваги методом Ньютона—Рафсона.	Ця сторінка
Розв’язання лінійної системи	На кожній ітерації Ньютона розв’язує лінійну систему на основі дотичної матриці жорсткості.	Розв’язувач і передобумовлення

Наявність цих рівнів залежить від виду аналізу.

Вид аналізу	Інтегрування за часом	Пошук стану контакту	Зовнішня ітерація	Ітерація Ньютона
Лінійний статичний аналіз	—	—	—	—
Нелінійний статичний аналіз (без контакту)	—	—	—	Так
Нелінійний статичний аналіз (контакт `SLAGRANGE`)	—	Так	—	Так
Нелінійний статичний аналіз (контакт `ALAGRANGE`)	—	Так	Так	Так
Динамічний аналіз, неявний	Ньюмарк-β	—	—	Так (за наявності нелінійності)
Динамічний аналіз, явний	Центральні різниці	—	—	—
Аналіз частотної характеристики	Модальна суперпозиція	—	—	—
Нестаціонарна теплопровідність	Кранк—Ніколсон / неявний метод Ейлера	—	—	Так (коли властивості матеріалу залежать від температури)
Стаціонарна теплопровідність	—	—	—	Так (коли властивості матеріалу залежать від температури)

Про вибір самого типу контакту та алгоритму див. Контакт і вбудовування. На цій сторінці описано, як вибраний алгоритм організовано у вигляді ітераційного циклу.

Вибір схеми розв’язування¶

Ітераційна структура визначається автоматично за вибраним видом аналізу (Види аналізу), наявністю або відсутністю нелінійності (геометрична нелінійність, нелінійність матеріалу або контакт) і алгоритмом контакту (SLAGRANGE або ALAGRANGE). Користувач безпосередньо налаштовує верхні межі кількості ітерацій і критерії збіжності.

Під час налаштування цих параметрів застосовуйте такі рекомендації.

Для стандартних аналізів зазвичай достатньо стандартної верхньої межі кількості ітерацій. Якщо задача зі складною збіжністю досягає максимальної кількості ітерацій без збіжності, спочатку використайте cutback (Керування кроками); збільшуйте верхню межу лише тоді, коли це не поліпшує збіжність.
Налаштовуйте критерії збіжності, балансуючи стабільність аналізу та час обчислення. Жорсткіші критерії підвищують точність рівноваги, але збільшують кількість ітерацій. У контактних аналізах і аналізах із множниками Лагранжа поєднання критерію приросту переміщення або критерію Лагранжа з критерієм нев’язки може підвищити стабільність.
Для параметрів інтегрування за часом у динамічному аналізі (коефіцієнтів Ньюмарка-β) починайте зі стандартної комбінації значень і коригуйте їх, якщо потрібно змінити характеристики чисельного демпфування коливальної реакції.
Для схеми інтегрування за часом у нестаціонарній теплопровідності використовуйте метод Кранка—Ніколсона для задач із плавною зміною температури та неявний метод Ейлера, коли важливішими є різкі зміни або довготривала стабільність.

Ітерація Ньютона—Рафсона у статичному аналізі¶

У нелінійному статичному аналізі рівняння рівноваги з геометричною нелінійністю або нелінійністю матеріалу розв’язуються ітераційно методом Ньютона—Рафсона. Кожна ітерація виконується так.

Обчисліть вектор нев’язки \(\boldsymbol{R}\) для поточного розв’язку.
Складіть дотичну матрицю жорсткості \(\boldsymbol{K}_T\).
Розв’яжіть лінійну систему \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\), щоб отримати поправку переміщення \(\Delta \boldsymbol{u}\).
Оновіть розв’язок як \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
Перевірте критерії збіжності. Якщо збіжності досягнуто, завершіть ітерацію; інакше поверніться до кроку 1.

Лінійний розв’язувач виконує розв’язання лінійної системи (крок 3). Про вибір розв’язувача та передобумовлювача див. Розв’язувач і передобумовлення.

Ітераціями керують за допомогою параметрів керування кроком !STEP. Основні керувальні значення наведено нижче.

Призначення	Параметр
Верхня межа кількості ітерацій. Якщо межі досягнуто без збіжності, до підкроку застосовується cutback.	`MAXITER`
Критерій збіжності на основі відносної норми нев’язки.	`CONVERG`
Критерій збіжності на основі відношення норм поправки переміщення. Використовується разом із критерієм нев’язки для підвищення стабільності.	`CONVERG_DDISP`
Критерій розбіжності для норми нев’язки. Ітерація припиняється, коли це значення перевищено.	`MAXRES`

Максимальна кількість ітерацій Ньютона, на яку посилаються рішення щодо автоматичного приросту та cutback у Керуванні кроками, означає кількість ітерацій Ньютона, описаних на цій сторінці. Керування автоматичним приростом збільшує приріст часу після підкроку, що збігся за малу кількість ітерацій, і зменшує його після підкроку, який потребував багатьох ітерацій.

Контактні ітерації у статичному аналізі¶

У контактному аналізі стан контакту змінюється під час ітерацій через контакт, відрив і ковзання на контактних поверхнях, тому ітерації Ньютона поєднуються з оновленням стану контакту. Структура залежить від алгоритму розв’язання контакту.

В обох алгоритмах на найзовнішньому рівні розміщується цикл пошуку стану контакту. На кожному проході цього циклу після збіжності внутрішньої ітерації Ньютона стан контакту (контакт/відрив) оцінюється повторно. Якщо стан змінився, структура матриці жорсткості оновлюється й внутрішня ітерація запускається знову. Цикл завершується, коли стан контакту не змінюється відносно попереднього проходу й виконуються критерії збіжності контакту (критерії контактної сили та множника Лагранжа). Верхня межа кількості проходів задається параметром MAXCONTITER у !STEP.

Для контакту SLAGRANGE контактні ступені свободи включаються до лінійної системи стандартним методом множників Лагранжа, утворюючи дворівневу структуру, у якій ітерація Ньютона розташована безпосередньо всередині циклу пошуку стану контакту. Ітерація розширеного методу Лагранжа не використовується.

Для контакту ALAGRANGE всередині циклу пошуку стану контакту додається ітерація розширеного методу Лагранжа, а всередині неї виконується ітерація Ньютона, що утворює трирівневу структуру. На кожній ітерації розширеного методу Лагранжа контактне обмеження повторно оцінюється з використанням поєднання штрафного члена та множника Лагранжа, поступово підвищуючи точність обмеження. Верхня межа кількості ітерацій розширеного методу Лагранжа задається параметром AUGITER у !CONTACT_ALGO.

Керувальні значення для контактних ітерацій наведено нижче.

Призначення	Задається в
Верхня межа кількості ітерацій циклу пошуку стану контакту. Використовується для `SLAGRANGE` і `ALAGRANGE`.	`!STEP` `MAXCONTITER`
Верхня межа кількості ітерацій розширеного методу Лагранжа. Використовується лише для `ALAGRANGE`.	`!CONTACT_ALGO` `AUGITER`
Критерій збіжності для поправки множника Лагранжа. Використовується разом із критерієм нев’язки в аналізах із контактом.	`!STEP` `CONVERG_LAG`

Кількість контактних ітерацій, на яку посилаються рішення щодо автоматичного приросту в Керуванні кроками, означає кількість ітерацій, описаних на цій сторінці, включно з оновленнями стану контакту. Аналізи, у яких контакт і відрив відбуваються часто, зазвичай потребують більшої кількості контактних ітерацій, що також впливає на рішення щодо автоматичного приросту та cutback. Про типи контакту, визначення пар і вибір алгоритму див. Контакт і вбудовування. Про розв’язання лінійної системи, що містить контактні ступені свободи, див. Розв’язувач і передобумовлення.

Інтегрування за часом у динамічному аналізі (неявний метод)¶

Неявний метод динамічного аналізу використовує метод Ньюмарка-β для зв’язування переміщення, швидкості та прискорення в наступний момент часу на кожному часовому кроці й поєднує ці співвідношення з рівнянням руху, щоб отримати стан у момент \(t + \Delta t\). Обмеження стійкості на часовий крок \(\Delta t\) є м’яким, що дає змогу ефективно розв’язувати структурні реакції, у яких переважають низькочастотні компоненти.

Використовуються два такі параметри інтегрування за часом.

Параметр	Призначення
\(\beta\)	Коефіцієнт, пов’язаний з інтерполяцією переміщення за часом.
\(\gamma\)	Коефіцієнт, пов’язаний з інтерполяцією швидкості за часом.

Комбінація \(\beta = 1/4\) і \(\gamma = 1/2\) називається методом середнього прискорення та є стандартним вибором, що має безумовну стійкість і не має чисельного демпфування. Щоб ввести чисельне демпфування, виберіть \(\gamma\) більше за \(1/2\). Математичні подробиці комбінацій параметрів, стійкості та характеристик похибки див. у теоретичному посібнику.

За наявності нелінійності (геометричної нелінійності, нелінійності матеріалу або контакту) в межах кожного часового кроку виконується ітерація Ньютона; під час ітерації розв’язується лінійна система й оновлюється стан. Для критеріїв збіжності використовуються CONVERG і пов’язані значення, спільні зі статичним аналізом. У динамічному аналізі з контактом у кожен часовий крок включається та сама ітераційна структура, що й у розділі Контактні ітерації у статичному аналізі.

Часовий крок у динамічному аналізі переважно керується часовими умовами !STEP. За фіксованих приростів у !STEP задається DTIME як часовий крок і ETIME як тривалість кроку. Значення n_step і t_delta у !DYNAMIC використовуються як стандартні, коли !STEP пропущено, а також для зворотної сумісності. У нелінійному неявному методі !STEP з INC_TYPE=AUTO вмикає автоматичні прирости та cutback, збільшуючи або зменшуючи часовий крок відповідно до стану ітерацій Ньютона й контакту. Незалежно від використання фіксованих чи автоматичних приростів, задавайте часовий крок з урахуванням як збіжності, так і необхідної точності.

Інтегрування за часом у динамічному аналізі (явний метод)¶

Явний метод динамічного аналізу використовує метод центральних різниць для безпосереднього обчислення стану в наступний момент часу лише з інформації про переміщення, швидкість і прискорення в попередній момент часу. Оскільки система одночасних рівнянь не розв’язується, обчислювальні витрати на крок невеликі. Навіть за наявності нелінійності кожен часовий крок є одноетапним оновленням без ітерації Ньютона.

Часовий крок має верхню межу, визначену умовою стійкості на основі мінімального власного періоду системи (умова CFL). Часовий крок, що перевищує цю межу, спричиняє розбіжність чисельного розв’язку, тому великі часові кроки, можливі в неявному методі, використовувати не можна. Явний метод має переваги для таких явищ, як удар, поширення хвиль і високошвидкісний контакт, де малі часові кроки потрібні за самою природою задачі.

За наявності контакту для накладання контактних обмежень використовується метод Forward Increment Lagrange. Контактні сили обчислюються способом, узгодженим з одноетапним оновленням явного методу.

Метод розв’язування для аналізу частотної характеристики¶

Аналіз частотної характеристики безпосередньо отримує періодичну усталену реакцію в частотній області методом модальної суперпозиції. Реакція оцінюється зі зміною частоти збудження без необхідності відстежувати часову історію через ітерації. Нелінійні ітерації та інтегрування за часом не виконуються.

Перед виконанням аналізу частотної характеристики для тієї самої системи потрібно виконати модальний аналіз і виділити необхідну кількість власних форм. Підтримуються лише лінійні моделі; аналіз неможливо виконати, коли ввімкнено геометричну нелінійність або нелінійність матеріалу. Про місце цього виду аналізу див. Види аналізу.

Просування за часом і нелінійні ітерації в нестаціонарній теплопровідності¶

Нестаціонарна теплопровідність має власний часовий цикл, що виконується в межах !HEAT. Часовий крок керується окремо від !STEP і !AUTOINC_PARAM структурного аналізу, а коли властивості матеріалу залежать від температури, у межах кожного часового кроку виконується нелінійна ітерація.

Схема інтегрування за часом вибирається параметром \(\beta\) у !HEAT.

\(\beta\)	Схема	Характеристики
0.5	Метод Кранка—Ніколсона	Точність другого порядку. Придатний для задач із плавною зміною температури.
1.0	Неявний метод Ейлера	Точність першого порядку. Безумовно стійкий і забезпечує стабільність для тривалих аналізів і різких змін температури.

Часовий крок керується адаптивно на основі поєднання початкового часового кроку, мінімального часового кроку та максимальної зміни температури за крок. Якщо після обчислення на часовому кроці зміна температури перевищує DELTMX, часовий крок зменшується й крок обчислюється повторно. Аналіз переривається, якщо часовий крок стає меншим за мінімальний часовий крок DTMIN.

Коли властивості матеріалу залежать від температури, у межах кожного часового кроку виконується нелінійна ітерація. Керування ітераціями здійснюється так.

Призначення	Параметр
Верхня межа нелінійних ітерацій.	`!HEAT` `ITMAX`
Критерій збіжності.	`!HEAT` `EPS`

Стаціонарна теплопровідність не використовує крокування за часом; коли властивості матеріалу залежать від температури, виконується лише нелінійна ітерація. Оскільки керування часом для аналізу теплопровідності незалежне від !STEP структурного аналізу, під час налаштування часового кроку перевіряйте параметри !HEAT.

Пов’язані теми¶

Види аналізу — місце кожного виду аналізу.
Контакт і вбудовування — вибір типів контакту, визначення пар і алгоритмів розв’язування.
Розв’язувач і передобумовлення — розв’язання системи лінійних рівнянь, що викликається в межах ітерації Ньютона.
Керування кроками — зовнішнє керування кроками/підкроками та автоматичні прирости/cutback.
Метод Ньютона—Рафсона (теорія) — формулювання ітераційного методу розв’язування.
Критерії збіжності (теорія) — математичні визначення показників збіжності.
Методи динамічного аналізу (теорія) — формулювання методу Ньюмарка-β і методу центральних різниць.
Аналіз нестаціонарної теплопровідності (теорія) — формулювання інтегрування за часом для теплопровідності.
Контактний аналіз (теорія) — формулювання методу множників Лагранжа.
Довідник ключових слів: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.