Перейти до змісту

Дискретизація віртуальної роботи внутрішніх сил

Рівняння віртуальної роботи в момент часу \(t + \Delta t\), наведене в Структурі інкрементального аналізу, залежно від вибору відлікової конфігурації має дві форми: Updated Lagrange та Total Lagrange. У цьому розділі за допомогою скінченно-елементного наближення, введеного в Функціях форми та скінченно-елементному наближенні і Просторових похідних функцій форми, виконується просторова дискретизація віртуальної роботи внутрішніх сил для обох формулювань і отримуються вектори внутрішніх сил елемента \(\boldsymbol{q}^e\) (метод UL) та \(\boldsymbol{Q}^e\) (метод TL).

Для елемента \(e\) позначимо його складові вузли як \(\alpha = 1, \ldots, n_e\), переміщення — як \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), а вектор вузлових переміщень елемента впорядкуємо як \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Віртуальне переміщення \(\delta \boldsymbol{u}^e\) визначається в тому самому порядку. Переміщення всередині елемента інтерполюється функціями форми як \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Віртуальна робота внутрішніх сил у формулюванні Updated Lagrange

У формулюванні Updated Lagrange поточна конфігурація \({}^{t}\Omega\) у момент часу \(t\) використовується як відлікова конфігурація, а віртуальна робота внутрішніх сил через напруження Коші \(\boldsymbol{\sigma}\) та лінійну частину деформації Альмансі \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) записується як

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Кожну компоненту \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) можна виразити, використовуючи координати поточної конфігурації \(\boldsymbol{x}\), як лінійну комбінацію похідних функцій форми \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) та вузлових віртуальних переміщень \(\delta u^e_{i\alpha}\). У позначеннях Фойгта це можна згрупувати як

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Вузловий блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) є матрицею \(6 \times 3\), сформованою розміщенням \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) за правилом Фойгта, а \(\boldsymbol{B}_L\) є матрицею зв’язку деформацій і переміщень для формулювання UL. Підставивши це у віртуальну роботу внутрішніх сил і винісши \(\delta \boldsymbol{u}^e\), одержуємо

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Для \(\boldsymbol{q}^e\) вузловий блок \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) є внутрішньою силою елемента \(\Omega^e\), що діє на складовий вузол \(\alpha\).

Віртуальна робота внутрішніх сил у формулюванні Total Lagrange

У формулюванні Total Lagrange початкова конфігурація \(\Omega_0\) використовується як відлікова конфігурація, а віртуальна робота внутрішніх сил через друге напруження Піоли—Кірхгофа \(\boldsymbol{S}\) та деформацію Гріна—Лагранжа \(\boldsymbol{E}\) записується як

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Варіація \(\delta \boldsymbol{E}\) розділяється на член, лінійний відносно віртуального переміщення, і нелінійний член, що містить добутки з поточним градієнтом переміщення \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Лінійний член можна записати, застосувавши те саме правило впорядкування, що й у формулюванні UL, до \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), утворюючи вузловий блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Через відмінність відлікової конфігурації складові похідні лише замінюються з \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) на \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); позначення залишається спільним із формулюванням UL. Нелінійний член використовує добутки поточного градієнта переміщення \(\partial u_k/\partial X_j\) і \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), розміщені за правилом Фойгта для формування вузлового блока \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Отже, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), а \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) є матрицею зв’язку деформацій і переміщень для формулювання TL. Підставивши це у віртуальну роботу внутрішніх сил, одержуємо

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Вузловий блок \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) є внутрішньою силою елемента \(\Omega^e_0\), що діє на складовий вузол \(\alpha\).

Відповідність UL/TL і обчислювальний процес

Вектори внутрішніх сил елемента у формулюваннях Updated Lagrange та Total Lagrange відповідають один одному так.

Пункт Формулювання Updated Lagrange Формулювання Total Lagrange
Відлікова конфігурація Поточна конфігурація \({}^{t}\Omega^e\) Початкова конфігурація \(\Omega^e_0\)
Тензор напружень Напруження Коші \(\boldsymbol{\sigma}\) Друге напруження PK \(\boldsymbol{S}\)
Варіація деформації \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Матриця B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Внутрішня сила елемента \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Обидва формулювання обробляються за однаковою процедурою: побудувати \(\boldsymbol{B}_L\) із просторових похідних функцій форми; у формулюванні TL побудувати й додати \(\boldsymbol{B}_{NL}\) із поточного градієнта переміщення; оновити напруження (\(\boldsymbol{\sigma}\) або \(\boldsymbol{S}\)) відповідно до конститутивного закону; і чисельно інтегрувати \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) або \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) по області елемента в точках інтегрування (Чисельне інтегрування). За винятком перемикання відлікової конфігурації (вузлових координат і побудови матриці \(\boldsymbol{B}\)) та заміни тензора напружень, обробка спільна, тому у FrontISTR обчислення внутрішніх сил для обох формулювань реалізовані спільними підпрограмами. Складання векторів внутрішніх сил елемента \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) у глобальний вектор внутрішніх сил розглядається в Віртуальній роботі зовнішніх сил і складанні глобальних рівнянь.

Пов’язані теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status