Чисельне інтегрування

Вектор внутрішніх сил елемента \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) і матриця жорсткості елемента \(\boldsymbol{K}^e\), отримані в Дискретизації внутрішньої віртуальної роботи та Віртуальній роботі зовнішніх сил і складанні глобального рівняння, мають форму інтегралів по області елемента \(\Omega^e\) або \(\Omega^e_0\). FrontISTR обчислює їх чисельно за допомогою квадратури Gauss.

Квадратура Gauss і заміна змінних

Квадратура Gauss апроксимує інтеграл по опорній області \(\Xi\) лінійною комбінацією значень підінтегральної функції в точках інтегрування \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) та ваг \(w_i\). Застосування до області елемента \(\Omega^e\) передбачає заміну змінних через відображення \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), що дає

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

де \(n_q\) — кількість точок інтегрування, а \(J_{\xi_i}\) — визначник якобіана перетворення. Опорна область \(\Xi\) визначається для кожного типу елемента (для гексаедра — \([-1,1]^3\); для трикутників, тетраедрів і клинів — відповідні опорні форми), а точки інтегрування \(\boldsymbol{\xi}_i\) і ваги \(w_i\) задаються числовими таблицями. Поверхневі інтеграли обробляються в тій самій формі шляхом відображення грані елемента з двовимірної опорної області.

Нижче наведено характерну кількість точок інтегрування, що використовується FrontISTR (відповідність типам елементів див. у Системі нумерації елементів і бібліотеці функцій форми).

Тип елемента	Правило квадратури	Кількість точок інтегрування
4-вузловий тетраедр (tet4n)	1-точкове правило	1
10-вузловий тетраедр (tet10n)	4-точкове правило	4
6-вузлова трикутна призма (prism6n)	2-точкове правило	2
15-вузлова трикутна призма (prism15n)	9-точкове правило	9
8-вузловий гексаедр (hex8n)	2×2×2 Gauss-Legendre	8
20-вузловий гексаедр (hex20n)	3×3×3 Gauss-Legendre	27
4-вузловий чотирикутник (quad4n)	2×2 Gauss-Legendre	4
8-вузловий чотирикутник (quad8n)	3×3 Gauss-Legendre	9
3-вузловий трикутник (tri3n)	1-точкове правило	1
6-вузловий трикутник (tri6n)	3-точкове правило	3

Для гексаедричних, чотирикутних і лінійних елементів використовуються тензорні добутки правила Gauss-Legendre в кожному координатному напрямку. Для трикутників, тетраедрів і трикутних призм використовуються спеціальні правила, придатні для геометрій симплексного типу (розташування точок, які точно інтегрують поліноми безпосередньо по трикутнику).

Застосування до інтегрування елемента

Під час інтегрування елемента природні координати \(\boldsymbol{r}\) використовуються як координати опорної області (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), а відображення у фізичні координати задається інтерполяцією вузлових координат за допомогою функцій форми. Залежно від вибору відлікової конфігурації (Схема інкрементального аналізу) використовуються наведені нижче формулювання.

Метод Total Lagrangian (інтегрування по відліковій конфігурації \(\Omega^e_0\)): відображення та якобіан мають вигляд

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

а внутрішня сила елемента та матриця жорсткості апроксимуються як

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Усі величини \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) обчислюються в точці інтегрування \(\boldsymbol{r}_i\).

Метод Updated Lagrangian (інтегрування по поточній конфігурації \(\Omega^e\)): відображення та якобіан мають вигляд

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

а

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

використовуються як апроксимації.

Єдина відмінність між двома формулюваннями полягає в тому, чи передаються у відображення вузлові координати \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) або \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); точки інтегрування, ваги й структура циклу по точках інтегрування є спільними.

Повне та редуковане інтегрування

Інтегрування з кількістю точок, достатньою для точного інтегрування поліноміального степеня підінтегральної функції, називається повним інтегруванням, а інтегрування з на один рівень меншою кількістю точок — редукованим інтегруванням. Редуковане інтегрування використовується для послаблення зсувного й об'ємного блокування, але потребує обробки паразитних мод деформації, таких як hourglass-моди. Кількість точок інтегрування для кожного типу елемента та вибір між повним і редукованим інтегруванням описано в Системі нумерації елементів і бібліотеці функцій форми і наступних розділах, а також в Удосконалених формулюваннях елементів.

Пов'язані теми

• Просторові похідні функцій форми — Обчислення якобіана
• Дискретизація внутрішньої віртуальної роботи — Величини, що обчислюються чисельним інтегруванням
• Удосконалені формулювання елементів — Використання редукованого інтегрування