Bỏ qua

Tích phân số

Các vectơ nội lực phần tử \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) và ma trận độ cứng phần tử \(\boldsymbol{K}^e\) thu được trong Rời rạc hóa công ảo nội lực và Công ảo ngoại lực và lắp ráp phương trình toàn cục có dạng các tích phân trên miền phần tử \(\Omega^e\) hoặc \(\Omega^e_0\). FrontISTR tính các tích phân này bằng phương pháp cầu phương Gauss.

Cầu phương Gauss và đổi biến

Cầu phương Gauss xấp xỉ một tích phân trên miền tham chiếu \(\Xi\) bằng tổ hợp tuyến tính của các giá trị hàm dưới dấu tích phân tại các điểm tích phân \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) và trọng số \(w_i\). Khi áp dụng cho miền phần tử \(\Omega^e\), thực hiện đổi biến thông qua ánh xạ \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), thu được

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

trong đó \(n_q\) là số điểm tích phân và \(J_{\xi_i}\) là định thức của Jacobian biến đổi. Miền tham chiếu \(\Xi\) được định nghĩa cho từng loại phần tử (đối với hình hộp sáu mặt là \([-1,1]^3\); đối với tam giác, tứ diện và lăng trụ, là các hình tham chiếu tương ứng), còn các điểm tích phân \(\boldsymbol{\xi}_i\) và trọng số \(w_i\) được cho dưới dạng bảng số. Tích phân bề mặt được xử lý theo cùng dạng bằng cách ánh xạ một mặt phần tử từ miền tham chiếu hai chiều.

Số điểm tích phân tiêu biểu được FrontISTR sử dụng được trình bày dưới đây (về sự tương ứng với các loại phần tử, xem Hệ thống đánh số phần tử và thư viện hàm dạng).

Loại phần tử Quy tắc cầu phương Số điểm tích phân
Tứ diện 4 nút (tet4n) Quy tắc 1 điểm 1
Tứ diện 10 nút (tet10n) Quy tắc 4 điểm 4
Lăng trụ tam giác 6 nút (prism6n) Quy tắc 2 điểm 2
Lăng trụ tam giác 15 nút (prism15n) Quy tắc 9 điểm 9
Lục diện 8 nút (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
Lục diện 20 nút (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
Tứ giác 4 nút (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
Tứ giác 8 nút (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
Tam giác 3 nút (tri3n) Quy tắc 1 điểm 1
Tam giác 6 nút (tri6n) Quy tắc 3 điểm 3

Đối với các phần tử lục diện, tứ giác và đường, sử dụng tích tensor của quy tắc Gauss-Legendre theo từng phương tọa độ. Tam giác, tứ diện và lăng trụ tam giác sử dụng các quy tắc chuyên biệt phù hợp với hình học kiểu đơn hình (bố trí điểm tích phân chính xác các đa thức trên chính miền tam giác).

Áp dụng cho tích phân phần tử

Trong tích phân phần tử, tọa độ tự nhiên \(\boldsymbol{r}\) được dùng làm tọa độ của miền tham chiếu (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), và ánh xạ sang tọa độ vật lý được xác định bằng nội suy tọa độ nút sử dụng các hàm dạng. Tùy theo cấu hình tham chiếu được chọn (Khuôn khổ phân tích gia lượng), sử dụng các công thức sau.

Phương pháp Lagrange toàn phần (tích phân trên cấu hình tham chiếu \(\Omega^e_0\)): ánh xạ và Jacobian là

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

và nội lực phần tử cùng ma trận độ cứng được xấp xỉ như

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Tất cả \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) được đánh giá tại điểm tích phân \(\boldsymbol{r}_i\).

Phương pháp Lagrange cập nhật (tích phân trên cấu hình hiện tại \(\Omega^e\)): ánh xạ và Jacobian là

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

và

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

được dùng làm các xấp xỉ.

Khác biệt duy nhất giữa hai công thức là tọa độ nút cung cấp cho ánh xạ là \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) hay \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); các điểm tích phân, trọng số và cấu trúc vòng lặp điểm tích phân là chung.

Tích phân đầy đủ và tích phân giảm

Tích phân sử dụng đủ số điểm tích phân để tích phân chính xác bậc đa thức của hàm dưới dấu tích phân được gọi là tích phân đầy đủ, còn tích phân sử dụng ít hơn một mức số điểm tích phân được gọi là tích phân giảm. Tích phân giảm được dùng để giảm khóa cắt và khóa thể tích, nhưng cần xử lý các dạng biến dạng giả như dạng hourglass. Số điểm tích phân cho từng loại phần tử và lựa chọn giữa tích phân đầy đủ và tích phân giảm được trình bày trong Hệ thống đánh số phần tử và thư viện hàm dạng và các phần tiếp theo, cũng như trong Công thức phần tử nâng cao.

Chủ đề liên quan

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status