Chuyển động, biến dạng và độ biến dạng¶

Cấu hình tham chiếu và cấu hình hiện tại¶

Định nghĩa các cấu hình¶

Để phân biệt hình dạng tại thời điểm nào được dùng làm cơ sở mô tả các đại lượng vật lý, tài liệu này sử dụng hai cấu hình.

Cấu hình tham chiếu: hình dạng chưa biến dạng tại thời điểm bắt đầu phân tích (thời điểm \(0\)), còn gọi là cấu hình ban đầu. Một điểm trong cấu hình tham chiếu được biểu diễn bằng tọa độ vật chất \(\boldsymbol{X}\), với thể tích \(V\) và bề mặt \(S\).
Cấu hình hiện tại: hình dạng đã biến dạng tại thời điểm \(t\). Một điểm trong cấu hình hiện tại được biểu diễn bằng tọa độ không gian \(\boldsymbol{x}\), với thể tích \(v\) và bề mặt \(s\).

Chuyển động được biểu diễn dưới dạng ánh xạ giữa hai cấu hình này, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), và chuyển vị được định nghĩa là \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Quy ước ký hiệu phụ thuộc cấu hình (chữ hoa/chữ thường)¶

Dạng chữ hoa hay chữ thường của ký hiệu dùng để phân biệt cấu hình mà đại lượng vật lý thuộc về.

Các đại lượng thuộc cấu hình tham chiếu được viết bằng ký hiệu chữ hoa (ví dụ \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Các đại lượng thuộc cấu hình hiện tại được viết bằng ký hiệu chữ thường (ví dụ \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Các đại lượng liên quan đến cả hai cấu hình, như ứng suất Piola-Kirchhoff thứ nhất \(\boldsymbol{P}\), dùng ký hiệu theo quy ước và được nêu rõ trong nội dung khi cần.
Trong lý thuyết biến dạng nhỏ, sự phân biệt giữa hai cấu hình biến mất, nên chỉ dùng các ký hiệu chữ thường (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradient theo cấu hình tham chiếu và cấu hình hiện tại¶

Ký hiệu và ý nghĩa khác nhau tùy theo cấu hình mà đạo hàm không gian được lấy theo.

Gradient theo cấu hình tham chiếu \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient theo tọa độ vật chất. Ví dụ: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient theo cấu hình hiện tại \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient theo tọa độ không gian. Ví dụ: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Chúng liên hệ với nhau bởi \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Về quy ước đạo hàm theo thời gian (đạo hàm thời gian vật chất \(\dot{(\cdot)}\)), xem Ký hiệu tensor và cơ sở toán học.

Mô tả chuyển động¶

Ánh xạ chuyển động và mô tả vật chất/không gian¶

Nếu coi môi trường liên tục là tập hợp các điểm vật chất được gắn nhãn bằng vị trí \(\boldsymbol{X}\) tại thời điểm \(0\), thì chuyển động được biểu diễn bởi ánh xạ \(\phi\) gán cho mỗi điểm vật chất \(\boldsymbol{X}\) vị trí \(\boldsymbol{x}\) của nó tại thời điểm \(t\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Theo quy ước lấy cấu hình tham chiếu làm cấu hình ban đầu, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Có hai cách mô tả được phân biệt theo cách chọn biến độc lập.

Mô tả vật chất (mô tả Lagrange): biểu diễn các đại lượng vật lý như hàm của \((\boldsymbol{X}, t)\). Trong cơ học vật rắn, đây là lựa chọn tự nhiên vì cấu hình tham chiếu được cho như một hình dạng cố định.
Mô tả không gian (mô tả Euler): biểu diễn các đại lượng vật lý như hàm của \((\boldsymbol{x}, t)\). Đây là cách mô tả tiêu chuẩn trong cơ học chất lưu.

Phân tích kết cấu của FrontISTR về cơ bản dựa trên mô tả vật chất, nhưng phương pháp Updated Lagrange cũng sử dụng các đại lượng trong mô tả không gian vì cấu hình hiện tại được dùng làm cấu hình tham chiếu mới.

Chuyển vị, vận tốc và gia tốc¶

Như đã nêu ở phần trước, chuyển vị \(\boldsymbol{u}\) được định nghĩa bởi \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Không đặt giả thiết về độ lớn của nó, nên bao gồm cả biến dạng hữu hạn. Vectơ vận tốc và gia tốc được định nghĩa là các đạo hàm thời gian vật chất của \(\boldsymbol{u}\) khi giữ cố định điểm vật chất:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Các phương trình này định nghĩa vận tốc và gia tốc.

Gradient biến dạng và các tensor biến dạng¶

Tensor gradient biến dạng¶

Đại lượng cơ bản trong cơ học môi trường liên tục biến dạng hữu hạn là tensor gradient biến dạng \(\boldsymbol{F}\). Đây là ánh xạ tuyến tính biến phần tử đường vi phân \(d\boldsymbol{X}\) trong cấu hình tham chiếu thành phần tử đường vi phân \(d\boldsymbol{x}\) trong cấu hình hiện tại, và được định nghĩa là gradient của ánh xạ chuyển động theo tọa độ vật chất:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Với định nghĩa này (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) ở trạng thái chưa biến dạng. \(\boldsymbol{F}\) được dùng rộng rãi để định nghĩa biến dạng và ứng suất cũng như biến đổi các đại lượng vật lý giữa các cấu hình.

Tỷ số thể tích¶

Tỷ số giữa thể tích vi phân \(dV\) trong cấu hình tham chiếu và thể tích vi phân tương ứng \(dv\) trong cấu hình hiện tại được gọi là tỷ số thể tích \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Tính khả nghịch của môi trường liên tục yêu cầu \(J > 0\). Bảo toàn khối lượng được biểu diễn bởi \(\rho_0 = J\rho\).

Tensor biến dạng Cauchy-Green phải và trái¶

Vì gradient biến dạng \(\boldsymbol{F}\) bao gồm chuyển động quay vật rắn, các độ đo của bản thân biến dạng sử dụng những đại lượng đã loại bỏ chuyển động quay vật rắn. Tensor biến dạng Cauchy-Green phải \(\boldsymbol{C}\) (cấu hình tham chiếu) và tensor biến dạng Cauchy-Green trái \(\boldsymbol{b}\) (cấu hình hiện tại) được định nghĩa là

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Cả hai đều là tensor đối xứng và có cùng các trị riêng (bình phương các độ giãn chính). Các bất biến chính của hàm năng lượng biến dạng siêu đàn hồi được biểu diễn bằng các tensor này.

Các tensor biến dạng¶

Tensor biến dạng Green-Lagrange¶

Với vai trò là độ đo biến dạng quy chiếu theo cấu hình tham chiếu, tensor biến dạng Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) được định nghĩa bởi

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Đây là tensor đối xứng biểu diễn sự thay đổi tích vô hướng của các vectơ vi phân trong cấu hình tham chiếu, bất biến đối với chuyển động quay vật rắn và thỏa \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) ở trạng thái chưa biến dạng. Dùng \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) ta được

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Biểu thức này thể hiện biến dạng là tổng của các hạng bậc nhất và bậc hai theo gradient chuyển vị; hạng bậc hai biểu diễn tính phi tuyến hình học. Trong phương pháp Total Lagrange, nó được dùng trong cặp liên hợp công \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensor biến dạng Almansi¶

Với vai trò là độ đo biến dạng quy chiếu theo cấu hình hiện tại, tensor biến dạng Almansi \(\boldsymbol{e}\) được định nghĩa bởi

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Nó liên hệ với biến dạng Green-Lagrange bởi \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (phép kéo ngược).

Tensor biến dạng vi phân¶

Khi gradient chuyển vị nhỏ (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), có thể bỏ qua hạng bậc hai của biến dạng Green-Lagrange. Khi đó sự phân biệt giữa hai cấu hình biến mất, và nó rút gọn thành tensor biến dạng vi phân \(\boldsymbol{\varepsilon}\), với gradient được viết theo tọa độ không gian:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR sử dụng độ đo biến dạng này cho phân tích tĩnh tuyến tính, phân tích modal, phân tích đáp ứng tần số và phân tích động tuyến tính. Phân tích biến dạng hữu hạn sử dụng \(\boldsymbol{E}\) trong phương pháp Total Lagrange và tensor tốc độ biến dạng \(\boldsymbol{D}\) quy chiếu theo cấu hình hiện tại trong phương pháp Updated Lagrange.